Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника,
если катет AK= 32√3 см и ∢ A= 30
KO=
см;
OA=
см

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны от  этой точки до точек касания. 
⇒
Треугольник АВС - равнобедренный. 
Треугольники АВО и АСО прямоугольные, т.к. радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
Эти треугольники равны по равенству АВ=АС и общей гипотенузе.  
Тогда углы ВАО=САО  и угол ВАС=2*30°=60°
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒
углы АВС и АСВ равны (180°-60°):2=60° ⇒
ΔАВС - равносторонний, и ВС=АВ=ВС= 5 см
 ответ: ВС=5 см
 ---------------

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Определение: внешний угол треугольника (многоугольника) - угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны.

Таким образом, при каждой вершине прямоугольника образуется по два внешних угла. В прямоугольнике внутренние углы прямые, значит и внешние углы, смежные с внутренними,  также прямые. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Следовательно, пересекаясь, биссектрисы образуют прямоугольные равнобедренные треугольники при общей гипотенузе - стороне прямоугольника - треугольники DFA, AFB, BGC и CHD.

Отрезки АВ = CD, BC = AD как противоположные стороны прямоугольника, следовательно отрезки (катеты равнобедренных треугольников) равны: EA=ED=GB=GC, FA=FB=HC=HD  => EF=FG=GH=HE (как суммы равных отрезков). Значит EFGH - параллелограмм (по признаку), а так как все стороны равны, то ромб. Кроме того, ∠E = ∠F = ∠G = ∠H  = 90°  =>

EFGH - квадрат, что и требовалось доказать.