Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см . Найдите гипотенузу.

1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC =  BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине)
значит, треугольник AOC =  равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO =  равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

2
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию,  угол BDA  = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Значит,  треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)

Проведем МТ⊥АВ, МК⊥ВС, МН⊥АС. Тогда МТ = МК = МН, так как точка М равноудалена от сторон треугольника (расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую).

Проведем МО⊥АВС, тогда МО = 3 см, расстояние от точки М до плоскости АВС.

Соединим точку О с точками Т, К и Н. ОТ, ОК и ОН - проекции соответствующих наклонных на плоскость АВС и так же перпендикулярны сторонам треугольника по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Если наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции. Значит точка О равноудалена от сторон треугольника, и значит О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ОТ = ОК = ОН = r - радиус вписанной окружности.

Sabc = pr, где р - полупериметр.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21 см

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

Sabc = √(21 · (21 - 13) · (21 - 15) · (21 - 14)) = √(21 · 8 · 6 · 7) = √(3 · 7 · 4 · 2 · 2 · 3 · 7) =

= 3 · 7 · 2 · 2 = 84 см²

r = S / p = 84 / 21 = 4 см

ΔMOK: ∠MOK = 90°, по теореме Пифагора:

              МК = √(МО²+ ОК²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 см