На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC взята точка E так, что перпендикуляр EM к прямой AB делит катет AB пополам. Из вершины B на прямую AE опущен перпендикуляр BH. Заполните пропуски, если известно, что EM = 10 см.
Очень

 высота, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое (пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу. То есть:

высота в квадрате = произведению отрезков, на которые делит эта высота гипотенузу.
гипотенуза в квадрате = 144 + 256 = 400.  гипотенуза = 20 (корень из 400)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Cледовательно, 12^2 = гипотенуза *1 отрезок (меньший)
144 = 20 * 1 отрезок
1 отрезок = 144 :20 = 7,2
Следовательно, 2 отрезок = 20 - 7,2 = 12,8

1.
1) Пусть ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, АВ - гипотенуза, АВ=12 см. 
АС=х, ВС=х-2, Р(АВС)=26 см.
Составляем уравнение:
x+(x-2)+12=26;
2x-2+12=26;
2x+10=26;
2x=26-10;
2x=16;
x=8.
AC=8 см, ВС=8-2=6 (см).
Вообще, такого прямоугольного треугольника с катетами 6 см, 8 см, и гипотенузой 12 см не существует, так как не выполняется условие т.Пифагора:
6²+8²≠12²:
36+64≠144;
100≠144.

2.
1) Пусть ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС=2х, АС=х, Р(АВС)=15 см.
Составляем уравнение:
2х+2х+х=15;
5х=15;
х=3.
АС=3 см, АВ=ВС=2*3=6 см.
ответ: 6 см, 6 см.