В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота AD. Определите длину AD, если BD = 4 см, DC = 9 см.

Указание: для решения воспользуйтесь утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу.

Известно: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае-катетам), 
т.е. дано отношение катетов 15:20 = 3:4 
отношение катетов --это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и дальше можно решать, используя основное тригонометрическое тождество, а можно составить систему: 
обозначим катеты 3а и 4а (отношение 3:4), гипотенуза, очевидно, = 35, 
требуется найти части: х и (35-х) 
для прямоугольного треугольника известно: 
квадрат катета = произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу  
{ (3а)² = 35*х 
{ (4а)² = 35*(35-х)
выразим из первого уравнения: а² = 35х / 9 
подставим во второе: 16*35х / 9 = 35*(35-х) 
16х / 9 = 35-х 
(16х+9х) / 9 = 35
25х = 7*5*9
х = 63/5 = 126/10 = 12.6 один отрезок
35-12.6 = 22.4 другой отрезок

1.
Проведём высоту BH.
BH - высота ΔABC и ΔABM

SΔABC = 1/2 * BH * AC
1/2 * AC = AM ⇒ SΔABC = AM * BH
SΔABM = 1/2 * BH * AM

Сравнив площади треугольников, можно сделать вывод, что SΔABM в два раза меньше SΔABC, то есть SΔABM = 18 см²

2.
AK - медиана ΔABM, так как BK = KM
Проведём высоту AF
AF - высота ΔABK и ΔABM

SΔABM = 1/2 * AF * BM
1/2 * BM = BK ⇒ SΔABC = BK * AF
SΔABK = 1/2 * BK * AF

Снова сравнив площади треугольников, можно сделать вывод, что SΔABK в два раза меньше SΔABM, то есть SΔABK = 9 см²

ответ: 9 см²