51.6 Найдите площадь треугольника ABC из задачи 51.5

Открытие новых земель более точному нанесению географических объектов на карты. В свою очередь, это было обусловлено экономическими потребностями. В XV веке, с развитием судов, люди перестали плавать вдоль берегов и начали выходить в отрытый океан для поиска новых торговых путей. А с дальними плаваниями возникла необходимость более точной системы координат. Итогом этого стало открытие новых материков и еще большее улучшение географических карт.
Источник: http://travelask.ru/questions/81225-osnovnoy-prichinoy-povysheniya-tochnosti-kart-v-xv-veke-yavi

Точка пересечения CD и BE - M, третья чевиана AF;
Тогда из теоремы Ван-Обеля
AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b;
или
AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
Из теоремы Чевы
(AD/DE)(BF/FC)(CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b;
или, то же самое, BF/BC = a/(a + b); CF/BC = b/(a + b);
То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна
Sabf = S*a/(a + b);
Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть
Samb/Safb = AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b/(b + 1);
собирая все это, можно получить
Samd = S*a/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*b/(b + 1)
точно также можно найти
Same = S*b/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*a/(a + 1);
и остается сложить.
Saemd/S = ab(1/(a + 1) + 1/(b + 1))/(a + b + 1) = (a/(a + 1))(b/(b + 1))(a + b + 2)/(a + b +1) как то так...