Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.
В правильном треугольнике высоты/биссектрисы/медианы к любой стороне совпадают.
BH - высота/медиана, HP/PB =2/1 (по условию)
Центр △BCS - пересечение биссектрис/медиан.
BD - медиана, BN/ND =2/1 (свойство медиан треугольника)
Плоскость (DBH)
HP/PB *BN/ND *DE/EH =1 (т Менелая)
2/1 *2/1 *DE/EH =1 => DE/EH =1/4
DE/HD =1/3
Плоскость (ACS)
HD - средняя линия в △ACS => HD||AS, HD =AS/2 =SM
△DKE~△SKM (по накрест лежащим при HD||AS)
DK/SK =DE/SM =DE/HD =1/3
(DK=x, SK=3x, SD=DC=4x) => SK/KC =3/5. Нашли точку K.
Плоскость (BCS)
CL/LB *BN/ND *DK/KC =1
CL/LB *2/1 *1/5 =1 => CL/LB =5/2. Нашли точку L.
Плоскость (ABC)
CL/LB *BP/PH *HF/FC =1
5/2 *1/2 *HF/FC =1 => HF/FC =4/5
(HF=4x, FC=5x, AH=HC=x, AF=3x) => AF/FH =3/4
HP/PB *BT/TA *AF/FH =1
2/1 *BT/TA *3/4 =1 => BT/TA =2/3. Нашли точку T.
Сечение MKLT
Плоскость сечения делит ребро AB в отношении 3:2 от точки A.
Поделим данный угол пополам:
Построим окружность ω произвольного радиуса R в вершине угла.В точках пересечения сторон угла с ω построим окружности ω1 и ω2 радиуса r так, чтобы они пересекались.Через полученные точки пересечения проведём прямую. Это - биссектриса угла.Пусть a - данная сторона, l - данная биссектриса, O - вершина угла.
В вершине построим 2 окружности Ω1 и Ω2 радиусов a и l соответственно. Пересечение Ω1 и одной из сторон угла - A, Ω2 и биссектрисы угла - L (основание биссектрисы). Пересечение AL и второй стороны угла - точка B. Итого построен треугольник AOB с заданными стороной, биссектрисой и углом.
