В прямоугольный ΔАВС вписан квадрат КНМЕ (КН=НМ=ЕМ=КЕ) так, что две его вершины Н и М лежат на гипотенузе АВ, а две другие К и Е - на катетах АС и ВС соответственно. а) Цент квадрата О - это точка пересечения диагоналей квадрата КМ и НЕ. Т.к. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то <КОЕ=90°, КО=ОЕ. По условию <АСВ=90°, значит отрезок КЕ виден из точек С и О под прямым углом, следовательно точки С и О лежат на окружности диаметра КЕ. Вписанные углы КCO и ЕCO опираются на равные дуги этой окружности КО и ОЕ, значит они равны, а СО - биссектриса угла ACB, что и требовалось доказать. б) Из прямоугольного ΔВЕМ найдем ВМ=ЕМ/tg АBС. Из прямоугольного ΔКАН найдем АН=КН*tg АВС (углы АКН и АВС равны, т.к. <АКН=90-<САВ и <АВС=90-<САВ). Гипотенуза АВ=АН+НМ+ВМ=КН*tg АВС+НМ+ЕМ/tg АBС=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС). Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, значит АВ=2R По условию R/НМ=13/6 2R=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС). 2R/НМ=(tg АВС+1+1/tg АВС). tg АВС+1+1/tg АВС=13/3 3tg² АВС+3tg АВС+3=13tg АВС 3tg² АВС-10tg АВС+3=0 D=100-36=64 tg АВС=(10+8)/6=3 tg АВС=(10-8)/6=1/3 Значит углы треугольника равны arctg 3 и arctg 1/3
Еще проще есть решение, практически устное и в 2 действия. Под боковой стороной я понимаю те две стороны, которые выходят из той же вершины, что и высота, и медиана. Основание - это третья сторона треугольника. 1) В треугольнике, ограниченном меньшей боковой стороной и медианой, высота является биссектрисой, поэтому это равнобедренный треугольник. Поэтому отрезок между высотой и медианой равен половине половины основания :) 2) в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, большей боковой стороной и частью основания, медиана исходного треугольника тоже является биссектрисой. И, как показано в пункте 1), она делит катет этого прямоугольного треугольника на отрезки в отношении 1/2, считая от вершины прямого угла. То есть по свойству биссектрисы высота относится к большей боковой стороне, как 1/2; То есть получился прямоугольный треугольник с углом в 30°; 3) само собой, отсюда получается, что угол исходного треугольника, из которого выходят высота и медиана, равен 90°, а третий угол 60°. Уф... написать всё это намного сложнее, чем сообразить :)
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
