Найти катеты прямоугольного треугольника, если они относятся, как 9 : 40, а S = 720 кв. см. №2 Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 1,2 дм.

В треугольной пирамиде проекция бокового ребра L на основание совпадает с отрезком, равным (2/3) высоты h треугольника в основании пирамиды.
h =(3/2)* (L*cos 60°) = (3/2)*(√3*(1/2)) = 3√3/4.
Сторона а основания равна:
а = h/cos 30° =  (3√3/4)/(√3/2) = 3/2.
Высота пирамиды H = L*sin 60° = √3*(√3/2) = 3/2.
Основание пирамиды вписывается в шар по окружности радиуса Ro.
Ro = (1/3)h/(sin 30°) = (1/3)*(3√3/4)/(1/2) = √3/2.
Теперь переходим к рассмотрению осевого сечения пирамиды через два боковых ребра, развёрнутых в одну плоскость.
Для шара это будет диаметральное сечение.
Радиус шара Rш = (abc)/(4S).
Здесь a и b - боковые рёбра, с - диаметр описанной около основания пирамиды окружности (с = 2Ro = √3).
Сечение S = (1/2)H*(2Ro) = (1/2)*(3/2)*√3 = 3√3/4.
Получаем Rш = (√3*√3*√3)/(4*(3√3/4)) = 1.
Объём шара V = (4/3)πR³ = (4/3)π куб.ед.

К задачам приложены рисунки.

4) sin∠ PMT=PT:MT

MT=17 ( прямоугольный треугольник из Пифагоровых троек) 

sin∠PMT=15/17

5) Площадь четырехугольника АВКМ равна ∆ АВD минус площадь прямоугольного треугольника МКD. 

Площадь АВD=S ABCD:2=6•8:2=24 см² 

КС ⊥ВD, ⇒ КD в ∆ МСD  перпендикулярна СМ и делит ∆ МСD на два подобных треугольника, ⇒  ∠КСD=∠КDМ. 

BD =10 см ( ∆ АВD- египетский, можно и по т.Пифагора найти). 

sin∠KCD=sin∠ADB=АВ:BD=0,6 

КD=CD•sinKCD=6•0,6=3,6

tg∠KDM=tg∠BDM=6/8=3/4

MK=KD•tgKDM=3,6•3/4=2,7

S∆ KDM=KM•KD:2=3,6•2,7:2=4,86 см ² ⇒

S (АВКМ)= 24-4,86=19,14 см²