Вычислить радиус основания r и высоту h цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиусом 31 см.

Пусть дано:
 - сторона а основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см,
 - двугранный угол α при основании равен 60°.

Находим высоту h основания:
h = a*cos 30° = 8*(√3/2) = 4√3 см.
Основанием высоты пирамиды эта высота делится в отношении 2:1 от вершины треугольника в основании пирамиды.
(1/3)h = 4√3/3 см.
Находим высоту пирамиды:
Н =(1/3)h*tg α = (4√3/3)*√3 = 4 см.
Площадь So основания равна:
So = a²√3/4 =64√3/4 = 16√3 см².
Объём пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)*16√3*4 = 64√3/3 ≈  36,95042 см³.

1.  см²

2. Опустим высоту из вершины. Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10см, катетом, который лежит на основании трапеции, длиной в 12:2=6. По теореме Пифагора найдем второй катет, который является высотой трапеции:  см. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, который сотворен диагональю (гипотенуза), высотой (катет) и вторым катетом, который лежитт на большем основанием трапеции, найдем его:  см. Найдем большее основание: 6+15=21см, меньшее: 15-6=9см.  cм².

3. Угол между высотами паралелограма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу паралелограма. Значит меньший угол равен 180-150=30.  см²