Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Справочник
Прямая, плоскость
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
→
n
=
(
A
,
B
)
.
1) В треугольнике ABC AC=BC, АB=15, АН- высота; BH=3. Найдите cos А
АС=ВС, ⇒ ∆ АВС - равнобедренный и ∠А=∠В, значит, cos A=cos B
cos B=HB:AB=3/15=0,2
2) В треугольнике ABC AB=BC, AC=4, высота CH равна 1. Найдите синус угла ACB
∆ АВС - равнобедренный. ⇒∠А=∠С, и синус ∠АСВ=синусу ∠СAВ
sin ∠CAB=CH:AC=1/4=0,25
3) В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, AC=10, CH-высота, AH=6. Найдите sin ACB
Т.к. ∆ АВС равнобедренный, углы при основании АС равны, следовательно, равны их синусы.
sinBAC=CH:AC
По т.Пифагора СН=√(AC²-AH²)=√(100-36)=8
sinBAC=8/10=0,8 ⇒sin ACB=0,8
(Замечу, что задача не совсем корректна. Т.к. треугольник тупоугольный, высота из острого угла - вне треугольника. И СН не может быть больше наклонной ВС, тем более не может быть больше АВ+ВН, если АВ=ВС. Возможно, нужно было длину АН обозначить равной 8 или АС=ВС)
4) В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов , AB=корень из 34, BC=3. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A
Внешний угол при вершине А - смежный внутреннему углу при той же вершине. Тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.
tg CAB=BC:AC
АС по т.Пифагора =√(АВ-CB)=√(34-9)=5
CAB=3/5=0,6⇒ тангенс внешнего угла при вершине А= -0,6
