В тетраэдре ABCD AD=a, BD=b, CD=c, медианы грани ABC пересекаются в точке O. Второй тетраэдр симметричен первому относительно середины отрезка DO. Найдите длину ломаной, по которой пересекаются поверхности этих тетраэдров.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на боковых рёбрах AA1 и BB1 взяты середины P и Q.
а) Докажите, что существует прямая `l`, проходящая через точку C и пересекающая обе прямые QA1 и PD1;
б) Найдите отношение CM:MN, где M=l ∩(QA_1), N=l ∩(PD_1).

AB=BC=40; BH=4√91

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
AA1/A1B= AC/BC 
C1C/BC1= AC/AB
AB=BC => AA1/A1B= C1C/BC1
Если прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки, то прямые параллельны.
AC||A1C1

△ABC~△A1BC1 (углы при основаниях равны как соответственные при AC||A1C1)
k= AC/A1C1 =AB/A1B

AH=√(AB^2 -BH^2) =√(1600 -16*91) =12
Высота в равнобедренном треугольнике является медианой.
AC=2AH =12*2 =24

AA1/A1B= AC/BC =24/40 =0,6
AB/A1B= (AA1 +A1B)/A1B =AA1/A1B +1 =1,6

A1C1= AC/k =24/1,6 =15

АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР.
Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны.
В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144,
АМ=12 см, АС=2АМ=24 см.
Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ.
По теореме биссектрис  в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС.
АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС.
КВ=40(40-КВ)/24,
24КВ=1600-40КВ,
64КВ=1600,
КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6
Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.