Находим объём пирамиды.
|X1 Y1 Z1| |4 3 -1|
V = (1/6)*|X2 Y2 Z2| = (1/6)*|3 2 -5|
|X3 Y3 Z3| |5 5 1| = (1/6)* 4*2*1 + 3*(-5)*5 + (-1)*3*5 -
(-1)*2*5 - 4*(-5)*5 - 3*3*1 = (1/6)*19 = 19/6.
Находим площадь треугольника АВС, лежащего против конца вектора "а". Формула векторного произведения:
Произведение векторов а × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}. S(ABC) = (1/2)*b*c =
i j k
bx by bz
cx cy cz
=
i j k
3 2 -5
5 5 1
= i (2·1 - (-5)·5) - j (3·1 - (-5)·5) + k (3·5 - 2·5) =
= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; -28; 5}.
Площадь равна (1/2)√(27² + (-28)² + 5²) = (1/2)√1538 ≈ 19,60867.
Теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости АВС как высоту пирамиды.
Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/6)/(√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.
Объяснение:<!--c-->
image
1. Так как дан правильный тетраедр, то независимо от данных граней искомое сечение будет являться равносторонним треугольником MNK. При построении этого сечения необходимо провести параллельные отрезки каждой стороне грани ADB, которая по определению правильного тетраэдра — равносторонний треугольник. Таким образом искомое сечение тоже является равносторонним треугольником, подобным треугольнику ADB.
2. Рассмотрим рисунок грани DCB, через центр O которой мы проводим сторону сечения NK.
image
3. Центр равностороннего треугольника находится в точке пересечения высот, биссектрис и медиан и делит медиану (которая также является высотой и биссектрисой) в отношении 2:1, другими словами отношение большой части медианы к всей медиане 2:3.
4. Значит, отношение стороны сечения к ребру тетраэдра также 2:3.
5. Если обозначить ребро тетраэдра через a и сторону сечения через b, то ba=23 и b=2a3.
6. Площадь равностороннего треугольника определяется по формулеSMNK=b2⋅3√4=4⋅a2⋅3√9⋅4=a2⋅3√9=32⋅3√9
7. В результате рассчётов, площадь сечения — SMNK=1⋅3√ см2.
