Дан параллелограмм АВСD. Опустим высоту ВН к стороне AD, равной 8. Катет АН образовавшегося прямоугольного треугольника равен 3, так как лежит против угла 30° (острые углы в сумме равны 90°, а один из них равен 60° - дано). Второй катет равен ВН=√(6²-3²)=√27=3√3. Тогда в прямоугольном треугольнике BHD катет HD = AD-AH = 8-3=5, а гипотенуза BD равна по Пифагору: BD = √(BH²+HD²)=√(27+25)=2√13.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Найдем вторую диагональ.
BD²+AC² =2(AB²+BC²) или 52+АС² = 2*100 =200 => АС = √148 = 2√37. 2√37 > 2√13. AC > BD.
ответ: BD = 2√13 см.
А можно диагональ BD (она меньшая, так как в треугольниках АВС и ACD с равными двумя сторонами третья сторона BD лежит против острого угла, а AC - против тупого) найти по теореме косинусов из треугольника АBD: BD² = AB²+AD² - 2*AB*AD*Cos60 = 100-48 = 52.
BD = √52 = 2√13 см.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С. Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен BC. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е.
Докажем, что угол МОЕ-искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ОDЕ.
АВ и АС являются радисами окружности с центром А, а отрезки ОD и Ое-радиусами окружности с центром О.
т.к. по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ+ОD, АС=ОЕ, ВС=DЕ.
следовательно треугольник АВС= треиугольнику ОDЕ (3 признак равенста треугольников (ссс)).
поэтому угол DOE= углу BAC.
т.е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.
