Ребят вас В треугольнике АВС известны стороны АВ = 30 см, ВС = 18 см и АС = 24 см. Сколько общих точек имеет окружность с центром в точке В и радиусом 18 см со стороной АС?

Т.к. центры окружностей симметричны --> они лежат на перпендикуляре к АС и на равных расстояниях от АС (О1К = О2К)))
центр вписанной окружности О1 -- это точка пересечения биссектрис, 
центр описанной окружности О2 -- это точка пересечения серединных перпендикуляров... 
следовательно, одна и та же прямая (на которой лежат оба центра окружностей) является и серединным перпендикуляром и биссектрисой, т.е. данный треугольник АВС --- равнобедренный))) 
и два угла при основании равнобедренного треугольника равны... 
обозначим их (а) = ВАС = ВСА
и осталось рассмотреть треугольник ВО2С --- он тоже равнобедренный, т.к. ВО2 = СО2 и его вершина О2 лежит на серединном перпендикуляре))), значит и углы при основании равны...
т.е. угол СВО2 = 90-а = ВСО2 = 3*а/2 
отсюда: 90 = 5*а/2 ---> а = 36
Углы треугольника АВС: 36, 36, 108 градусов

Дана окружность с центром О, она касается стороны АС в точке Н и продолжений сторон ВА и ВС треугольника АВС. Точка Н будет находиться в середине АС, т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а в равнобедренном треугольнике биссектриса (из вершины напротив основания является и медианой, и высотой)
Нужно найти радиус окружности с центром М, вписанной в треугольник ABC.
Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то значит, что АМ –биссектриса <ВАС, АО- биссектриса угла, ему смежного при вершине <А. Тогда < ОАМ- прямой как угол между биссектрисами смежных углов.
В прямоугольном ΔОАМ  АН – высота, т.к. радиусы ОН и МН проводятся к касательной АС под прямым углом.
Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые она делится основанием высоты. Тогда АН²=ОН*МН. Следовательно, МН =АН²/ОН=6²/8= 4,5.