В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. Задачу нужно решить без использования теоремы синусов!

Объяснение:

Пусть ВК высота к АС. Тогда АК, Кс-проекции на АС. Пусть АК=х, тогда КС=в-х

ΔАВК , tgа=ВК/АК  ,                 ΔСВК,   tgβ=ВК/(в-х)

ВК=х * tgа                ,                 ВК=(в-х) tgβ.

Значит        х tgа  =(в-х) tgβ,

                   х tgа  =вtgβ-хtgβ,

                   х tgа +хtgβ=вtgβ

                    х (tgа +tgβ)=вtgβ

                    х= вtgβ/(tgа +tgβ), значит АК=вtgβ/(tgа +tgβ).

КС=в-вtgβ/(tgа +tgβ).