Площадь грани треугольника с вершинами A(-1;2;11,5), B(2;-1;8,5), C(-1;-1;10)

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу,  делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.  

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  

Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.  

Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82  

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.  

Примем отрезок АН гипотенузы  за х, НВ тогда 82-х  

Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ  

СН²=АН*НВ  

1600=х(82-х)  

х²-82х+1600=0

Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.

АН, как более короткий отрезок, равен 32,  

НВ=50  

Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .

И отношение их катетов одинаково.  

Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ.  АН:СН=СН:НВ=4:5  

АС:СВ=4/5

Но всегда простое решение - лучше сложного.

Вариант решения:

Основа решения:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  

Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.

По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.

И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5

И вариант третий -  если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.

Пусть данный катет АС, угол - А
На произвольной прямой m отложим отрезок, равный длине катета АС. 
Обозначим его концы А и С. 
На сторонах заданного угла А циркулем радиуса=АС  с центром в т.А сделаем насечки. Обозначим их О и М. 
Соединим О и М. 
Из т. А построенного на m катета проведем тем же раствором циркуля полуокружность. 
Циркулем измерим ОМ и из т.С отложим полуокружность до пересечения с первой в т.К. 
АС=АМ, АК=АО, отрезок СК равен отрезку ОМ, ⇒ ∆ АКС=∆ АОМ. Следовательно, угол КАС равен заданному. 
Катет и прилежащий к нему угол построены.  
На равном расстоянии по обе стороны от С отметим на прямой m т.1 и т.2. 
Из этих точек, как из центров, начертим полуокружности так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой m. 
Точки пересечения соединим. Построен перпендикуляр к прямой m  через т. С ( это стандартный построения перпендикуляра, и он наверняка Вам знаком). 
Точку пересечения перпендикуляра с другой стороной угла А обозначим В. 
Искомый треугольник АВС по катету АС и прилежащему углу А построен.