Відповідь:
Четырехугольник А1В1С1Д1 - прямоугольник.
П = 15 см.
S = 12,5 см^2.
Пояснення:
В произвольном четырехугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются под прямыми углами. АС = 10 см., а ВД = 5 см. Соединим середины сторон четырехугольника АВСД и получим четырехугольник А1В1С1Д1. Докажем, что четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок А1В1 - является средней линией этого треугольника, так как расстояние от диагонали АС до точек А1 и С1 равно половине расстояния от диагонали АС до точки В. Так как А1В1 - средняя линия треугольника АВС, то А1В1 параллельна диагонали АС и А1В1 = 1/2 × АС = 1/2 × 10 = 5 см.
Аналогично доказывается, что С1Д1 -средняя линия треугольника АСД, что А1Д1 - средняя линия треугольника АВД, что В1С1 - средняя линия треугольника ВСД.
В1С1 = 1/2 × ВД = 1/2 × 5 = 2,5 см.
Так как А1В1 и С1Д1 параллельны диагонали АС, то они параллельны и между собой.
Так как А1Д1 и В1С1 параллельны диагонали ВД, то они параллельны и между собой.
Так как диагонали АС и ВД перпендикулярны, то порарно перпендикулярны между собой и отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1А1, значит четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Выше мы доказали, что А1В1 = С1Д1 = 5см., а В1С1 = Д1А1 = 2,5 см.
Значит периметр четырехугольника А1В1С1Д1
П = 5 + 2,5 + 5 + 2,5 = 15 см.
Площадь четырехугольника А1В1С1Д1
S = 5 × 2,5 = 12,5 см^2.
а) Пусть угол В равен х градусов, тогда угол А равен х/4 градусов (если в ... раз меньше, то надо разделить), а угол С равен (х - 90) градусов (если на ... меньше, то надо вычесть). Сумма углов треугольника равна (х + х/4 + (х - 90)) градусов или 180° ( по теореме о сумме углов треугольника). Составим уравнение и решим его.
х + х/4 + (х - 90) = 180;
х + 0,25х + х - 90 = 180;
2,25х - 90 = 180;
2,25х = 180 + 90;
2,25х = 270;
х = 270 : 2,25;
х = 120° - угол В;
х/4 = 120°/4 = 30° - угол А;
х - 90 = 120° - 90° = 30°.
ответ. ∠A = 30°; ∠B = 120°; ∠C = 30°.
б) Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник будет равнобедренным. Угол В равен 120°. Напротив этого угла лежит сторона АС, которая будет основанием. Две другие стороны треугольника АВ и ВС будут боковыми сторонами. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны.
ответ. АВ = ВС.
