Решите задачу номер 6
Пункт Б

Перпендикуляр - является высотой в прямоугольном треугольнике ABC.

У нас есть высота и длины отрезков, на которые поделена сторона. Сразу вспоминаются метрические соотношения. Есть 4 формулы по метрическим соотношениям:

1) h = ab÷c , где a,b - катеты. c - гипотенуза

2) h² = uv , где u, v - отрезки, на которые поделена гипотенуза.

3) a² = vc, где v - отрезок на который поделена гипотенуза, а c - гипотенуза.

4 ) b² = uc, тоже самое что и в третьем, но другой отрезок

Нам подходит вторая формула:

144 = x(x-7)

x² - 7x - 144 = 0 ; По теореме Виета находим корни.

Корни:

1) 16

2) -9 сторонний корень. Потому что длина отрезка не может быть отрицательной.

Отсюда AH = 16, BH = 9

Теперь воспользуемся третьей формулой

AC² = 16*25 = 400

AC = 20;

По теореме Пифагора либо по четвертой формуле находим второй катет.

BC² = 9*25 = 225

BC = 15

Так как диагонали в ромбе делятся точкой пересечения пополам, то первая диагональ = 30 см. вторая = 40 см.

Дано
пусть ∆ABC -прямоугольный
(а,b-катеты, с -гипотенуза)
S∆ABC=11
P=a+b+c=22
h к с=?

Площадь треугольника
S∆ABC=½ab=½ch=11

т.к ½ab=½ch, то ab=ch , откуда
h=ab/c
по т Пифагора
с²=а²+b²
Тогда
h=ab/c=ab/✓(a²+b²) (*)

Т.к. a+b+c=22
c=22-a-b
возводим обе части в квадрат
с²=22²-44(а+b)+(a+b)²
с другой стороны , по т Пифагора:
c²=a²+b²
приравниваем выражения для с²:
484-44(а+b)+(a+b)²=a²+b²
484-44(a+b)+a²+2ab+b²=a²+b²
484-44(a+b)+2ab=0

Т.к.
S∆ABC=½аb, то
ab=2•S∆ABC=22 (1)

484-44(a+b)+44=0

11-(a+b)+1=0 => a+b=12

а²+b²=(a+b)²-2ab=12²-2•22=100 (2)

Возвращаемся к нашей высоте h (см (*))
h=ab/✓(a²+b²) =
{подставляем (1) и (2)}
=22/√100=2,2

ответ высота к гипотенузе = 2,2