Sabom = 25 cм².
Объяснение:
Треугольники ВОС и MOD подобны по двум углам (∠ВОС = ∠МОD как вертикальные, а ∠ВСО = ∠OMD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей СМ). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон: k = MD/BC = 1/2 (так как ВС = АD, а MD = AD/2). В подобных треугольниках отношение высот равно коэффициенту подобия. Проведем через точку О прямую РН, перпендикулярную сторонам ВС и AD параллелограмма. Тогда НО - высота треугольника MOD, ОР - высота треугольника ВОС, а РН - высота параллелограмма АВСD. OH = PO/2 = PH/3.
Тогда Sabcd =PH·AD = 60 см² (дано).
Sabd = (1/2)·PH·AD = 30 cм².
Smod = (1/2)·OH·MD = (1/2)·PH/3·AD/2 = (1/12)·PH·AD = 60/12 = 5 cм².
Sabom = Sabd - Smod = 30 - 5 = 25 см².
В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
