1) В прямоугольнике АВСД АС=6; АСД=60°. Найдите: а) СА⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ СД⃗⃗⃗⃗⃗ ; б) АД⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ СА⃗⃗⃗⃗⃗ ; в) ВС⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ СА⃗⃗⃗⃗⃗ .
2) Даны точки А(–1; 4); В(1; –2); С(0; –4); Д(2;2); Е и К середины АВ и СД соответственно.
А) Найти острый угол между ЕК и СД.
Б) Вычислите СД⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ВС⃗⃗⃗⃗⃗ − СД⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ВД⃗⃗⃗⃗⃗ .

Дано:

тр АВС (уг С=90)

АС = 16 см

ВС = 12 см

АВ = 20 см

Найти:

а) косинус меньшего угла

б) сумму квадратов косинусов острых углов

а) по свойству соотношения сторон и углов треугольника, против меньшей стороны лежит меньший угол, а значит меньшим будет угол, лежащий против стороны 12 см, по условию, следовательно, это угол А.

cos A = AC / AB;   cos A = 4/5 = 0.8

б) Есть св-во - оно же основное геометрическое тождество, сумма квадратов косинусов острых углов прямоугольного треугольника равна единице, но вы похоже этого ещё не изучали, посему надо найти оставшийся косинус угла В и найти сумму квадратов косинусов вычислением, приступим:

cos B = CB / AB; cos B = 12/20 = 3/5 = 0.6

cos²A +cos²B = 0.8²+0.6²=0.64+0.36=1

ответ: √82 см

Объяснение: Вершина правильной четырехугольной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата. Пусть данная пирамида МАВСД, О - точка пересечения диагоналей основания. МО=8 - высота. МС=10 - боковое ребро, МН апофема ( высота боковой грани правильной пирамиды)

     Из прямоугольного треугольника МОС по т.Пифагора половина диагонали ОС=√(МC²-МО²)=√(100-64)=6 см

Тогда по т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥ВС. ⇒ ∆ ОНС - прямоугольный, ОН=ОС•sin45°=6•√2/2=3√2 ⇒

МН=√(МО²+ОН²)=√(64+18)=√82 см