1. В плоскости ASC проведем прямую ОН║SA.
BHD - искомое сечение, так как оно проходит через диагональ основания BD и параллельно боковому ребру SA.
Пирамида правильная, значит в основании квадрат.
ΔASC равнобедренный (SA = SC так как пирамида правильная), с углом 60° при основании, ⇒ равносторонний.
SA = SC = AC = a√2.
О - середина АС, ОН║SA, значит ОН - средняя линия ΔASC, т.е. Н - середина SC.
ОН - медиана прямоугольного треугольника SOC, проведенная к гипотенузе, значит
ОН = 1/2 SC = a√2/2
ОС⊥BD по свойству диагоналей квадрата, проекция НО на плоскость основания лежит на прямой ОС, ⇒ НО⊥BD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит ОН - высота сечения.
Sсеч = 1/2 · BD · OH = 1/2 · a√2 · a√2/2 = a²/2
2. Пирамида правильная, значит основания - правильные треугольники.
Пусть Н и Н₁ - середины ребер АС и А₁С₁ соответственно. Тогда ВН и В₁Н₁ - медианы и высоты оснований.
Проекция НН₁ на плоскость нижнего основания лежит на прямой ВН, значит НН₁⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Тогда ∠Н₁НВ = 60° - угол наклона боковой грани к основанию.
НН₁О₁О - прямоугольная трапеция.
ОН = 8√3/6 = 4√3/3 см как радиус окружности, вписанной в ΔАВС,
О₁Н₁ = 6√3/6 = √3 см.
Проведем высоту трапеции Н₁К.
НК = HO - H₁O₁ = 4√3/3 - √3 = √3/3 cм
ΔHH₁K: ∠HKH₁ = 90°,
HH₁ = HK / cos60° = √3/3 / (1/2) = 2√3/3 см
Sбок = (Pabc + Pa₁b₁c₁) / 2 · HH₁
Sбок = (8 ·3 + 6 · 3) /2 · 2√3/3 = 42/2 · 2√3/3 = 14√3 см
наименьшее расстояние между этими диагоналями будет расстояние между центрами этих диагоналей.
Далее, можно рассуждать следующим образом:
Построим аналогичные диагонали на 2 других зеркальных данным граням, проведем такие же прямые (соединящие эти грани) и посмотрим на куб сверху. Увидим следующее (рисунок в приложении).
У нас внутри исходного квадрата (это вертикальная проекция куба), появился вписанный в него маленький квадрат, образованный расстояниями между диагоналями. Стороны этого квадрата равны 2. И сам маленкьий квадрат делит проекцию исходного куба (которая тоже является квадратом пополам.)
собственно, дальше задача сводится к свойствам прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза 2, а катеты (равные половине сторон большого квадрата будут равны а).
дальше по теореме Пифагора.
а^2+a^2=4
a=корень из 2
тогда сторона большого квадрата будет равна 2*2^(1/2) т.е. два умножить на корень из двух.
А объем исходного куба - это значение в 3 степени
или
16 умножить на корень из 2
