Перпендикуляр проведений з точки перетину діагоналей ромба ділить його сторону на відрізки 16 і 9 см знайти діагоналі ромба .

По заданным величинам находим углы треугольника.

C = arc sin(20/25) = arc sin(4/5) = 53,1301 градуса .

B = arc cos (7/25) = 73,7398 градуса.

Угол А = 180 - В - С = 53,1301 градуса .

Значит, треугольник - равнобедренный: АВ = ВС = 25.

Тогда АС = 2√(25² - 20²) = 2√(625 - 400) = 30.

Находим ДН из условия подобия треугольников НДС и АВД и равенства взаимно перпендикулярных углов НСД и АВД.

ДН/ДС - АД/ВД. Здесь точка Н - точка пересечения высот.

ДН = 15*15/20 = 11,25.

Используя формулу деления высот точкой их пересечения

ВН/НД = cos B/(cos A*cosC), находим отрезки.

Отрезки на сторонах. отсекаемые высотами        

       

АС₂ = 18 С₂B = 7 AB = 25  25

       

BA₂ = 7 A₂C = 18 BC = 25  25

       

АB₂ = #ДЕЛ/0! B₂C = #ДЕЛ/0! AC = #ДЕЛ/0!  30

Точка В2 это точка Д, она делит АС пополам,АД = 30/2 = 15.

Далее удобнее решать в прямоугольной системе координат,

Пусть А(0; 0), В(15; 20), С(30; 0).

Находим координаты точки Е из подобия АЕ к АВ = 18/25.

х(В) = 15*(18/25) = 54/5 = 10,8.

у(В) = 20*(18/25) = 72/5 = 14,4.  Точка E(10,8; 14,4), точка Д(15; 0).

Находим координаты центра Р окружности на ДЕ.

Р = (10,8+15)/2; (14,4+0)/2) = (12,9; 7,2).

Радиус окружности равен РЕ = √(15-12,9)² + (0-7,2)²) = 7,5.

Уравнение окружности (x-12,9)² + (y-7,2)² = 7,5².

Уравнение прямой АВ по угловому коэффициенту: у = (20/15)х или у = (4/3)х.

Находим координаты точки F как точки пересечения АВ с окружностью, решая систему:

{ у = (4/3)х.

{ (x-12,9)² + (y-7,2)² = 7,5². После подстановки у= (4/3)х во второе уравнение находим х = 27/5 = 5,4, а у = 36/5 = 7,2.

Второй корень повторяет координаты точки Е(10,8; 14,4).

Координаты точки G находим аналогично, толь как точку пересечения с осью Ох в виде уравнения у = 0.

G(10.8; 0). Второй корень повторяет координаты точки D(15; 0).

Уравнение прямой АН: у = (11,25/15)х.

Уравнение GF. Вектор GF = (5,4; -7,2).

Уравнение GF:( (x - 10,8)/5,4) = y/(-7,2).

Координаты точки К находим как точку пересечения прямых АН и GF, решая систему:

{ у = (11,25/15)х.

{ ( (x - 10,8)/5,4) = y/(-7,2).  

Решение даёт значение х(К) = 6,912, у(К) = 5,184.

Длина АК = √(6,912² + 5,184²) = 8,64.

ответ: АК = 8,64.

1
Это ответ :)
На самом деле тут нужна теория. 
1). Фигура AB1D1A1 - правильная треугольная пирамида с основанием AB1D1. Вершина A1 проектируется на основание в центр O правильного треугольника AB1D1.
С другой стороны, фигура AB1D1C - тоже правильная пирамида с основанием AB1D1 (на самом деле это вообще правильный тетраэдр, у которого все грани и ребра одинаковые). Поэтому вершина C проектируется на основание в центр O правильного треугольника AB1D1.
Это означает, что точки A1 и C лежат на прямой, перпендикулярной плоскости AB1D1, и проходящей через точку O. 
Другими словами, ДОКАЗАНО, что плоскость AB1D1 перпендикулярна большой диагонали куба A1C.
Совершенно так же доказывается, что A1C перпендикулярна плоскости BDC1.
Само собой, плоскости AB1D1 и BDC1 параллельны.
2) Теперь надо обозначить O1 - центр треугольника BDC1 (через эту точку проходит диагональ A1C). M - середина BD и AC, M1 - середина B1D1 и A1C1.
Тогда из параллельности плоскостей AB1D1 и BDC1 
AO/OO1 = A1M1/M1C1 = 1; 
CO1/OO1 = CM/MA = 1; 
То есть все три отрезка A1O = OO1 = CO1.
Ясно, что OO1 - искомое расстояние между плоскостями (я напоминаю - A1C перпендикулярна обеим плоскостям).
Вот, теория закончилась. Дальше решение :)
A1C = 3, => OO1 = 1;