Даны вершины треугольника - точки А (1; -3; 0), В (4, 3, 1), С (-4; -3; 0).
Найти площадь треугольника АВС.
Проще выполнить с применением векторного произведения, так как
S = (1/2)|ABxAC|.
Находим векторы.
АВ = (3; 6; 1), АС = (-5; 0; 0).
|ABxAC| =
= i j k| i j
3 6 1| 3 6
-5 0 0| -5 0 = 0i - 5j +0k - 0j - 0i + 30k = -5j + 30k =
= (0; -5; 30).
Модуль равен √(0² + (-5)² + 30²) = √925 = 5√37.
ответ: S = (1/2)*( 5√37) = (5/2)√37 ≈ 15,2069 кв.ед.
Если автор задания хотел узнать, как выразить длину биссектрисы прямого угла через длины катетов, то решение такое:
Имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Катеты а и b, гипотенуза с. Пусть биссектриса СД равна х.
Из точки Д опустим перпендикуляр на АС.
Так как угол ДСЕ равен (пи/4) = 45 градусов, то СЕ = ДЕ = x/√2.
Используем подобие треугольников ДЕА и ВСА.
(x/√2)/a = (b - (x/√2))/b,
bx = ab√2 - (ax√2)/√2,
bx = ab√2 - ax,
ax + bx = ab√2,
x(a + b) = ab√2,
x = ab√2/(a +b).
ответ: СД = ab√2/(a +b).
