Треугольник разбит на два других треугольника прямой, проведенной из вершины. доказать что центры кругов описанных около всех трех треуголтников лежат на одной окружности с вершиной

Центр описанной окружности - пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.  

Линия центров O1O2 перпендикулярна общей хорде AK и делит дугу AK пополам. Центральный угол O1 опирается на половину дуги AK, вписанный угол B опирается на дугу AK, O1=B. Аналогично O2=C => O1AO2=BAC.  

В четырехугольнике AH1OH2 сумма противоположных углов H1 и H2 равна 180, следовательно сумма другой пары также 180, H1AH2+O=180.  

BAC+O=180 => O1AO2+O=180 => AO1OO2 - вписанный четырехугольник.