1. Признак: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Стороны АВ=СD (дано). Углы ВАС и АСD равны (дано). Это накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, эти прямые параллельны (признак). АВСD - параллелограмм по приведенному выше признаку. Что и требовалось доказать.
2. Треугольники ADB и DCB равны по двум углам (<1=<4 и <2=<3 - дано) и стороне между ними - DB - общая. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
AD=CB, DC=AB. ABCD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Что и требовалось доказать.
Допустим возьмём треугольник ABC. Проведём высоту, биссектрису и медиану из вершины A. Поставим 3 точки: D E и F, где D это основание высоты, E основание биссектрисы и F основание медианы.
Также нарисуем описанную окружность этого треугольника. Пусть P — точка пересечения прямой AE с этой окружностью. Тогда P — середина дуги BC. Поэтому прямая, проведённая через точку P параллельно AD, перпендикулярна хорде BC (т.к. AD⊥AC) и, поэтому проходит через её середину, т.е. точку F.
Доказав, что E лежит между D и F мы докажем что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса проходит между высотой и медианой проведенными из той же вершины.
Прямая AD параллельна FP. Биссектриса-это AE, но мы её продлим до AP. Точка E находится на отрезке AP И любая точка находящаяся на AP (кроме самих точек A и P) будет между параллельных линий AD и FP. Значит точка E находится между параллелей AD и FP. Также точка E находится на отрезке DF, ведь точки D и F на параллелях AD и FP.
