Треугольник остроугольный => высоты пересекаются внутри треугольника.
Пусть угол BAK равен alfa, тогда из прямоугольного треугольника ABK: угол ABK = 90 - alfa
Пусть угол ABC равен beta, тогда из прямоугольного треугольника ABH: угол HAB = 90 - beta
Из рассмотрения треугольника ABM: сумма углов равна 180 градусов;
AMB + MAB + MBA = 180
105 + (90-alfa) + (90-beta) = 180
Отсюда alfa + beta = 105 (град)
Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов, тогда
угол ACB = 180 - (ABC+BAC) = 180 - (alfa+beta) = 180 - 105 = 75 (град)
Тогда угол AOB = 2 * ACB = 150 град (O — центр окружности; A, B, C лежат на ней)
Далее, треугольник ABO — равнобедренный (AO и BO — радиусы одной окружности) , поэтому углы при основании равны:
OAB = ABO = (1/2) * (180 - AOB) = (180-150)/2 = 15 (градусов) .
ОТВЕТ: угол ABO = 15 градусов.
30° и 60°
Объяснение:
1) Пусть О - точка пересечения диагоналей трапеции.
ΔВОС подобен ΔАОD, при этом коэффициент подобия k равен:
k = AD : ВС = 2 : 1 = 2, т.к., согласно условию, АD = 2BC.
2) Из подобия треугольников следует, что точкой О:
а) диагональ ВD делится на 2 отрезка:
ВО = BD : 3 = 3√3 : 3 = √3
ОD = BD : 3 · 2 = 3√3 : 3 · 2 = 2√3 ;
б) диагональ АС делится на 2 отрезка:
СО = АС : 3 = 3 : 3 = 1
АО = 3 : 3 · 2 = 2.
3) Так как BD⊥АС, то треугольники ВОС и АОD - прямоугольные.
tg∠CBD = СО : ВО = 1/√3 = √3/3
∠CBD = arctg (√3/3) = 30°
∠ВСА = 90° - ∠CBD = 90° - 30° = 60°.
∠ВDА = ∠CBD = 30° - как углы внутренние накрест лежащие;
∠DАС = ∠ВСА = 60° - как углы внутренние накрест лежащие.
ответ: диагонали трапеции образуют с её основаниями углы 30° и 60°.
