Симметрия ! сделать запись к каждому

ответ:  Расстояние между центрами окружностей  = 12

Объяснение:   Смотрите рисунок.

К – точка пересечения касательных. Угол К – прямой. КО2 – биссектриса угла К.  А и А, а так же В и В – точки касания окружностей касательных. АА и ВВ – хорды окружностей, пересекают биссектрису в точках М и Н соответственно. О1 и О2 – центры окружностей.  На рисунке видно, что расстояние между центрами окружностей О1О2 = r + R.   Найдем r. АО1 параллельна КА. Т.к КО1 – биссектриса угла К, то АА перпендикулярна КО1. Следовательно ∠КАМ = ∠МАО1 = 90/2 = 45°  Т.к. ∠АМО1 = 90°, то ∠АО1М = 180 – 90 – 45 = 45°. Таким образом, ΔАМО1 – равнобедренный и О1М = АМ = (2√2)/2 = √2.  Следовательно, r = √{(√2)² + (√2)²} = √4 = 2.  Аналогично для R: О2Н = ВН = (10√2)/2 = 5√2.  Тогда R = √{(5√2)² +(5√2)²} = √(25*2) + (25*2) = √100 = 10.  Расстояние между центрами окружностей = 2 + 10 = 12

Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные.
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, 
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.