теорема. прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
рассмотрим следующий рисунок.
ah - перпендикулярен плоскости α. am это наклонная в плоскости α; a - прямая, проведенная в плоскости α через точку м перпендикулярно к проекции hm наклонной. теперь, докажем, что прямая а перпендикулярна ам. для этого рассмотрим плоскость amh.
по условию прямая а перпендикулярна нм. также прямая а перпендикулярна ан, так как ан перпендикулярна плоскости α. прямые нм и ан принадлежат плоскости анм и пересекаются. из этих трех пунктов следует, что прямая а перпендикулярна плоскости амн, значит, она перпендикулярна любой прямой, которая принадлежит плоскости амн.
так как прямая ам принадлежит плоскости амн, значит прямая a и прямая ам перпендикулярны между собой. что и требовалось доказать.
так как в теореме присутствуют три перпендикуляра, ан, нм и ам, теорема называется теоремой о трех перпендикулярах. все три прямых угла показаны на рисунке, который в начале доказательства. помимо основной теоремы о трех перпендикулярах, существует и обратная теорема о трех перпендикулярах.
обратная теорема
прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
. отрезок ad перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника авс. известно, что ав = ас = 5см, вс = 6 см, ad = 12 см. найти расстояние от точки а до прямой вс.
решение.
пусть точка е это середина вс. тогда вс будет перпендикулярным ае. то есть ае будет расстояние от точки а до прямой вс.
еа является проекцией de на плоскость авс. ае перпендикулярен вс, а следовательно по теореме о трех перпендикулярах de будет перпендикулярен bc. получаем, что de - это расстояние от точки d до отрезка bc. теперь будем определять ae.
ве = (1/2)*вс = 3 см.
так как треугольник аве прямоугольный, то можем по теореме пифагора найти ае.
ае^2 = ab^2-be^2 = 25-9 = 16, следовательно, ае = 4 см.
ответ. 4 см.
Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, в якому бічна сторона і медіана,проведена до неї, відповідно дорівнюють 8см, 6 см !
Найдите основание равнобедренного треугольника, в котором боковая сторона и медиана, проведенная к ней, соответственно равны 8 см, 6 см .
Дано: ΔABC
с = BA = ВC = a =8 см, BM =CM =BС/2 ; AM = mₐ =6 см . - - - - - - - AС =b - ?
ответ: 2√10 см
Объяснение:
ΔABC : AC² = BC² + BA² - 2BC*BA*cos∠B
b² = a² + c² - 2ac*cos∠B =2a²( 1 -cos∠B )
cos∠B нетрудно определить из ΔABM заданной по трем сторонам. AM² = BA²+BM² - 2BA*BM*cos∠B ⇔
mₐ² = c² + (a/2)² - ca*cos∠B = a²/4+ a²(1- cos∠B ) ⇒
a²(1- cos∠B ) = mₐ² - a²/4 ;
b² =2a²( 1 - cos∠B ) =2(mₐ² - a²/4 ) =2(6²-8²/4) =2*20 =40
b = √40 =2√10 (см)
2-ой
обозначаем ∠AMB = φ ⇒ ∠AMC = 180° - ∠AMB = 180° - φ
ΔAMB : c² = mₐ² + (a/2)² - 2mₐ*(a/2) cosφ
ΔAMC : b² = mₐ² + (a/2)² - 2mₐ*(a/2)cos(180° - φ) ; [ cos(180°- φ) = - cosφ ]
c² + b² = 2mₐ² + a²/2 [ c = a ] b² = 2mₐ² - a²/2
* * * mₐ = 0,5√( (2(b²+c²) -a² ) _формула для вычисления медианы * * *
b² = 2*6² - 8²/2 = 40
b =√40 = 2√10 (см )
* * * * * * * * * * * * *
Построить треугольник по двум сторонам и медиане , проведенной к третей стороне
