Можно ли в прямоугольную таблицу 5x6 поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке — отрицательна?

Ответ: нельзя.
Решение. Предположим противное: так заполнить можно. Под-считаем сумму всех чисел таблицы, складывая суммы строк. Тогда мы сложим 5 отрицательных чисел, значит, общая сумма тоже отрицательна. Теперь подсчитаем общую сумму, складывая суммы столбцов. Складываем 6 положительных чисел, значит, и общая сумма положительна. Но общая сумма не должна зависеть от способа подсчета и не может быть положительной и отрицательной одновременно. Значит, так таблицу заполнить нельзя.