* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
21sin(x) + 20cos(x) = 14,5
ответ: - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .
Объяснение: метод вс угла
* * *asinα+bcosα =√(a²+b²)sin(x +φ) , где φ =arctg(b/a) * * *
21sin(x) + 20cos(x) = 14,5 ; √(21²+20²) =√( 441+400 =√881 =29
29( (21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) )= 29/2 ;
(21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) =1/2 * * * (21/29)²+(20/29)² =1 * *
обоз. 21/29 =cosφ ⇒ 20/29 = sinφ φ =arcsin(20/29)
sin(x +φ) = 1/2 ;
x +φ = (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ
x = - φ + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ
x = - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .
очевидно ,что можно и обозначить
21/29 =sinφ ⇒ 20/29 = cosφ φ =arccos(20/29) * * *
cos(x - φ) = 1/2 ⇒ x - φ =±π/3 +2πn , n ∈ ℤ⇔ x = φ ±π/3 +2πn , n ∈ ℤ ;
x = arccos(20/29) ± π/3 +2πn , n ∈ ℤ .
Такая точка одна. Находится как точка минимума функции площади заданного треугольника. Обозначим эту точку xо.
Уравнение касательной: y = y(xo)'(x - xo) + y(xo).
Функция x² - 4x + 4.
Производная в точке касания равна y(xo)' = 2хo - 4.
Подставим: у = (2xo - 4)*(x - xo) + y(xo) = (2xo - 4)*(x - xo) + (x - 2)² =
= 2xox - 4x - 2xo²+ 4xo + xo² - 4xo + 4 =
= 2xox - 4x - 2xo² + xo² + 4 = 2xox - 4x - xo² + 4 =
= (2(xo - 2))x - xo² + 4.
В точке пересечения касательной с осью Оу переменная х = 0.
Тогда координата на оси Оу равна: у = - xo² + 4 = (2 - xo)(2 + хо).
В точке пересечения касательной оси Ох у равен 0:
0 = (2(xo - 2))x - xo² + 4.
Отсюда х = (xo² - 4)/(2(xo - 2)) = ((xo - 2)(xo + 2)/(2(xo - 2)) = (xo + 2)/2.
Площадь треугольника равна:
S = (1/2)xy = (1/2)*((xo - 2)/2)*(4 - xo²) = (1/4)*(4xo + 8 - xo^3 - 2xo^2) =
= (-1/4)xo^3 - (1/2)xo^2 + xo + 2.
Производную полученной функции приравниваем нулю.
(-3/4)xo^2 - xo + 1 = 0.
D=(-1)^2-4*(-0.75)*1=1-4*(-0.75)=1-(-4*0.75)=1-(-3)=1+3=4;
x_1=(2root4-(-1))/(2*(-0.75))=(2-(-1))/(2*(-0.75))=(2+1)/(2*(-0.75))=3/(2*(-0.75))=3/(-2*0.75)=3/(-1.5)=-3/1.5=-2 ( отрицательное значение отбрасываем).
x_2=(-2root4-(-1))/(2*(-0.75))=(-2-(-1))/(2*(-0.75))=(-2+1)/(2*(-0.75))=-1/(2*(-0.75))=-1/(-2*0.75)=-1/(-1.5)=-(-1/1.5)=-(-(2//3) )=2/3 ≈ 0.6667.
ответ: х = (2/3), у = ((2/3) - 2)² = (-4/3)² = 16/9 ≈ 1,78.
