Найти F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a), если a + 1/a = 8.
Наша цель - выразить a^4 + (1/a)^4 через (a + 1/a).
(a + 1/a)^4 = a^4 + 4a*(1/a)^3 + 6a^2*(1/a)^2 + 4a^3*1/a + (1/a)^4 =
= a^4 + (1/a)^4 + 4a^2 + 4*(1/a)^2 + 6 = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a^2 + (1/a)^2) + 6
Но с другой стороны
(a + 1/a)^4 = 8^4 = 4096
Дальше.
(a + 1/a)^2 = a^2 + 2a*1/a + (1/a)^2 = a^2 + (1/a)^2 + 2
Но с другой стороны
(a + 1/a)^2 = 8^2 = 64
Значит
a^2 + (1/a)^2 = (a + 1/a)^2 - 2 = 64 - 2 = 62
Отсюда
a^4 + (1/a)^4 = (a + 1/a)^4 - 4*(a^2 + (1/a)^2) - 6 = 4096 - 4*62 - 6 = 3842
F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a) = 3842 + 4*8 = 3842 + 32 = 3874
