Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычислений, утверждать, что верно равенство:
26⋅(470+37)=26⋅470+26⋅37?

ответ:

переместительный закон умножения ab=ba
распределительный закон умножения a(b+c)=ab+ac
сочетательный закон сложения (a+b)+c=a+(b+c)
сочетательный закон умножения (ab)c=a(bc)
переместительный закон сложения a+b=b+a

По формуле классической вероятности:
p=m/n
n=90 ( количество двузначных чисел)

Числа делящиеся на 3:
12; 15;... 99 - таких чисел 30
Можно найти их количество по формуле n-го члена арифметической прогрессии

a₁=12
d=15-12=3
99=12+3·(n-1)    ⇒87=3(n-1)    n-1=29    n=30

Числа делящиеся на 5:
10; 15;20; 25; 30;...; 95 - таких чисел 30
Можно найти их количество по формуле n-го члена арифметической прогрессии

a₁=10
d=15-10=5
95=10+5·(n-1)    ⇒85=5(n-1)    n-1=19    n=20

Чисел, которые одновременно делятся и на 3 и на 5 всего 6:
15;30;45;60;75 и 90

m=30+20-6=44

p=44/90=22/45

Обозначим искомое число как , по условию . Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:


Понятно, что , тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок . Поэтому , равны либо и , либо и .

Случай 1.
Из первого уравнения следует, что , тогда после подстановки во второе уравнение находим . - действительно простое число, так что нас устраивает.

Случай 2. 
Тут всё немного сложнее: уравнение на квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение , у которого только один натуральный корень .
Подставляем в первое равенство: - простое число, так что и тут нас всё устраивает.

ответ. ,