Алгебра: Решить дифференциальное уравнение xy` (lny – lnx) = y

Решить дифференциальное уравнение xy` (lny – lnx) = y

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

Artem3460

03.06.2020 02:48

ть будьласка.17 номер.Алгебра 9 клас.Тема:Числові нерівності.В ХТО ЗНАЄ ЯК РОЗВ ЯЗУВАТИ НЕ ІГНОРЬТЕ...

gigi81

20.02.2020 03:39

Знайдіть два послідовних натуральних числа, сума квадратів яких дорівнює 545...

arinasuper000

20.02.2020 03:39

Результат сложения уравнений х + 5у = 7, 3х – 2у = 4 равен a) 4х – 3у = 11,b) 4х + 7у = 11,c) 4х + 3у = 11б...

Sunlight11

18.01.2021 21:17

X+y=20, 0,5x+y=0 система...

Stuart11

21.09.2022 09:16

задание 4.4 упростить уровнение...

saqo2017

21.08.2022 00:01

Углы треугольника ABC относятся так: ДА: В: zc=1:2:3. Биссектриса Вм ул Авс равна 4. Найдите длину отрезка MC.Запишите решение и ответ....

SaharaYo

10.06.2020 17:05

2) 1,7(у – 11) – 16,3, якщо у = 20 До ть будь ласка...

CoralineGilmor

29.07.2021 16:37

Разложите на множители x^8+x^4+1; a^3+3a^2-4; m^3+8m+19m+12; m^4+5m^3+15m-9; c^3+8c^2+17c+10; a^5+a^6+a^3+a^2+a+1...

dhdndbrb

27.10.2020 03:44

3.Потеряли решение системы уравнений x+y=20, 0,5x+y=0 a) (– 40; – 20)b) (-40; 20),c) (40; – 20)...

Egorka200308

23.03.2023 05:30

5.Нет такого решения системы уравнений: a) сложенияb) умноженияc) подстановки...

Ответ:

Romlik

05.10.2020 12:42

$xy' (\ln y - \ln x) = y$
Применяем свойство логарифма:
$xy' \ln \dfrac{y}{x} = y$
Далее преобразуем:
$y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x}$
Получаем однородное диф. уравнение.
Замена:
$\dfrac{y}{x} =t
\\\
\Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$(t'x+t)\ln t=t
\\\
t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} 
\\\
t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t
\\\
 \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t
\\\
 \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x}$
Интегрируем левую часть отдельно:
$\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt=
 \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt=
 \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt =
 \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt$
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла:
$\int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt =
 \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt$
Выполняем подведение под знак дифференциала:
$- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) =
- \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) =
\\\
=- \ln |t| - \ln|1-\ln t|$
После интегрирования получим:
$- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx$
Обратная замена:
$\dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx
\\\
 \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx$
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
$\dfrac{1}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =C
\\\
Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$
ответ: $Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$ - общий интеграл уравнения

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку