Решить систему: x^2+y^4=20 x^4+y^2=20

пусть x²=a, a>0
y²=b, b>0

400-40b²+b⁴+b=20,  b⁴-40b²+b+380=0
1. найти целые делители 380: +-1; +-2;+-4;+-5;+-10; ....
2. проверить, при каких значениях  b значение выражения =0.
получим, при b=-5;-4-;4;5
b=-4;-5 не подходит (b>0)

b=5 не подходит, т.к. а=-5 (a>0)


ответ: (-2;-2), (-2;2), (2;-2), (2;2)

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановок.

1) Выразим одну из переменных через другую:
Из первого уравнения получим:
x^2 = 20 - y^4 (1)

2) Подставим это выражение во второе уравнение:
(20 - y^4)^2 + y^2 = 20 (2)

3) Распишем квадрат и приведем подобные члены:
(400 - 40y^4 + y^8) + y^2 = 20

4) Перенесем все члены в левую часть уравнения:
y^8 - 40y^4 + y^2 + 400 - 20 = 0

5) Упростим уравнение:
y^8 - 40y^4 + y^2 + 380 = 0 (3)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной y. Для его решения воспользуемся заменой переменной.

6) Заменим переменную y^2 = z:
z^4 - 40z^2 + z + 380 = 0 (4)

7) Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной z. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 1, c = 380

D = 1 - 4(1)(380) = 1 - 1520 = -1519

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение имеет два комплексных корня.

8) Решим уравнение для z, используя формулу:

z = (-b ± √D) / 2a

z = (-1 ± √(-1519)) / (2 * 1)

z1 = (-1 + √1519 * i) / 2 (корень 1)
z2 = (-1 - √1519 * i) / 2 (корень 2)

9) Вернемся к исходной замене переменных:
y^2 = z

Тогда получаем два значения для y:

y1 = √z1 = √((-1 + √1519 * i) / 2)
y2 = √z2 = √((-1 - √1519 * i) / 2)

10) Обратимся к уравнению (1) и найдем x:
x^2 = 20 - y^4

Для каждого значения y, найдем соответствующие значения x:

x1 = ± √(20 - (y1)^4)
x2 = ± √(20 - (y2)^4)

Таким образом, получены все значения x и y, которые удовлетворяют данной системе уравнений.