Выполняется ли равенство cost a=sin a, при каком-нибудь a?

Да, причем при всех значениях а.

Докажем:

Введем ф-цию: f(t) = a×cos(t) - sin(a)

Ясно, что -1 ≤ sin(a) ≤ 1 для любого а, так что при |а| > 1 функция в любом случае имеет корни, что значит, что исходное уравнение имеет решение, т.к. а×cos(x) будет больше sin(a). (Собственно этого достаточно, чтобы дать ответ на поставленный вопрос). Как доказать дальше, честно сказать, туплю, но вопрос стоял так: "есть ли такие а...?".

ответ: есть.