Решите уравнение cosx*sin7x=cos3x*sin5x

Попробуем так
cos x*sin 7x = cos 3x*sin 5x
cos(4x-3x)*sin(4x+3x) = cos(4x-x)*sin(4x+x)
Раскрываем суммы и разности синусов и косинусов
(cos 4x*cos 3x + sin 4x*sin 3x)(sin 4x*cos 3x + sin 3x*cos 4x) =
= (cos 4x*cos x + sin 4x*sin x)(sin 4x*cos x + cos 4x*sin x)
Раскрываем скобки
cos 4x*cos^2 (3x)*sin 4x + sin^2 (4x)*sin 3x*cos 3x + cos^2 (4x)*cos 3x*sin 3x +
+ sin 4x*sin^2 (3x)*cos 4x = cos 4x*cos^2 (x)*sin 4x + sin^2 (4x)*sin x*cos x +
+ cos^2 (4x)*cos x*sin x + sin 4x*sin^2 (x)*cos 4x
Выносим общие множители за скобки
cos 4x*sin 4x*(cos^2 (3x) + sin^2 (3x)) + sin 3x*cos 3x*(sin^2 (4x) + cos^2 (4x)) =
= cos 4x*sin 4x*(cos^2 (x) + sin^2 (x)) + sin x*cos x*(sin^2 (4x) + cos^2 (4x))
Во всех скобках cos^2 (a) + sin^2 (a) = 1
cos 4x*sin 4x + sin 3x*cos 3x = cos 4x*sin 4x + sin x*cos x
Вычитаем одинаковые части
sin 3x*cos 3x = sin x*cos x
1/2*sin 6x = 1/2*sin 2x
sin 6x = sin 2x
sin 6x - sin 2x = 0
Применяем формулу разности синусов

2sin 2x*cos 4x = 0
1) sin 2x = 0; 2x = pi*k;
x1 = pi/2*k
2) cos 4x = 0; 4x = pi/2 + pi*k;
x2 = pi/8 + pi/4*k