Найти площадь фигуры с интегралов !

Треугольник ba1c1 - равносторонний, все углы в нем 60 градусов.  Это все решение (причем самое полное и точное из всех). Но можно не останавливаться на достигнутом, и соединить вершины этого треугольника с вершиной куба d. Получается пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники. То есть получился тетраэдр (или, если хотите, правильный тераэдр, хотя это уточнение и лишнее - тетраэдром называют именно правильную треугольную пирамиду с равными ребрами), вписаный в куб. Конечно же, можно и наоборот - для любого тетраэдра можно построить такой куб, что ребра тетраэдра будут диагоналями граней куба.Следствия.Во первых, скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны (в данном случае, к примеру, bd перпендикулярно a1c1, поскольку a1c1 II ac, а ac и bd - диагонали квадрата abcd, точно также доказывается перпендикулярность остальных пар скрещивающихся ребер тетраэдра).Во вторых, отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер тетраэдра, перпендикулярен этим ребрам и равен длине ребра тетраэдра, умноженной на √2/2. В самом деле, это отрезок, соединяющий центры противоположных граней куба, то есть он равен стороне куба, а ребро тетраэдра равно диагонали грани куба, откуда и получатеся соотношение длин.Конечно, к задаче это имеет косвенное отношение (точнее, не имеет ни какого), но уж больно неприятно выдавать решение, занимающее полстрочки.

Обозначим за v - скорость работы первой бригады, u- скорость работы второй бригады. По условию задачи всю работу они могут выполнить за 30 дней, если работают вместе.

Пусть A - вся работа.

 

30*(u+v)=A  (1)

 

Но на самом деле получилось по-другому. Сначала они работали 6 дней 6*(u+v), а потом дорабатывала вторая бригада 40 дней - 40u. То есть 6*(u+v)+40u. Опять таки вся работа была выполнена.

6*(u+v)+40u=А (2)

 

Приравняем левые части уравнений (1) и (2)

 

30*(u+v)=6*(u+v)+40u

 

30*(u+v)-6*(u+v)=40u

24(u+v)=40u

Делим обе части на 8.

3(u+v)=5u

3u+3v=5u

3v=5u-3u

3v=2u  (3)

Выразим v через u

v=2/3u

Подставим в первое уравнение

30*(u+2/3u)=A

30*(5/3u)=A

30*5/3*u=A

50u=A

Здесь u - скорость выполнения работы второй бригадой. А - вся работа. Значит 50 суток - время, за которое выполнит всю работу вторая бригада одна.

 

Теперь выразим из 3-его уравнения u через v.

u=1,5v

 

Снова подставляем значение u через v в первое уравнение.

 

30*(1,5v+v)=A

30*2,5v=A

75v=A

Здесь v - скорость выполнения работы первой бригадой. А - вся работа. Значит 75 суток - время, за которое выполнит всю работу первая бригада одна.

 

ответ: 75 суток - время, за которое выполнит всю работу первая бригада одна.

 

  50 суток - время, за которое выполнит всю работу вторая бригада одна.