Надо! при каком значении параметра c числа найдется такой угол alpha, что числа sin alpha и cos alpha являются корнями квадратного уравнения 5x^2 + 6x + c = 0 ?

Это дискриминант.
5x^2+6x+c=0
D=36-4*5*1=36-20=16
x1=(-6-4):2*5=-10:10=-1
x2=(-6+4):2*5=-2:10=-2.
ответ:1-ый корень равен -1,а 2-ой корень равен -2.

Уравнение 5х² + 6х + с = 0 преобразуем в в приведенное, для этого разделим на 5 и получим:
х² + 6х/5 + с/5 = 0
Теперь можно применять теорему Виета, согласно которой сумма корней приведённого уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
По условию  sinα и cosα - это корни этого уравнения.Тогда
sinα + cosα = - 6/5
sinα * cosα = с/5
Первое уравнение возведём в квадрат
sin²α + 2 cosα*sinα + cos²α = 36/25
Применим основное тождество
sin²α + cos²α=1
и получим
1 + 2sinα*cosα = 36/25
2sinα*cosα = 36/25 - 1
2sinα*cosα = 11/25
sinα*cosα = 11/50
А теперь соотнесём со вторым уравнением теоремы Виета
sinα*cosα = с/5
sinα*cosα = 11/50
При равных левых частях равны их правые части
с/5 = 11/50
с = 11/10 = 1,1
ответ: при с = 1,1

Проверка
5х² + 6х + 1,1 = 0
D = 6² - 4 * 5 * 1,1= 36 - 22 = 14
√D = √14
x1 = (- 6 + √14)/10
x2 = (- 6 - √14)/10
Если эти корни являются sinα  и  cosα , то для них должно выполняться основное тригонометрическое тождество
sinα = (- 6 + √14)/10
cosα = (- 6 - √14)/10
Проверим 
sin²α + cos²α = 1
(-6 + √14)²/10² + (-6 - √14)²/10²  = (36 - 12√14 + 14 + 36 + 12√14 + 14)/100 = 100/100 = 1-  выполняется, значит, корни являются синусом и косинусом при с = 1,1
Nj;ltcn