Найдите все значения а при каждом из которых уравнение (x²-√(2x-a)) ² =(2x-1-√(2x-a))² имеет единственный корень на промежутке [-1; 1]

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение для упрощения вычислений.
Раскроем возведенные в квадрат скобки и сократим одинаковые слагаемые:

(x² - √(2x - a))² = (2x - 1 - √(2x - a))²

x⁴ - 2x³√(2x - a) + (2x - a) = 4x² - 4x + 1 - 4x√(2x - a) + (2x - a)

x⁴ - 2x³√(2x - a) + (2x - a) = 4x² - 4x + 1 - 4x√(2x - a) + 2x - a

x⁴ - 2x³√(2x - a) + (2x - a) = 4x² - 2x - a + 1

Объединим все слагаемые в одну сторону:

x⁴ - 4x² + 4x - 1 = -2x³√(2x - a) + 2x√(2x - a) - a√(2x - a)

Вынесем общий множитель √(2x - a) из правой части:

x⁴ - 4x² + 4x - 1 = √(2x - a) (-2x³ + 2x - a)

Возведем уравнение в квадрат для устранения корня:

(x⁴ - 4x² + 4x - 1)² = (√(2x - a) (-2x³ + 2x - a))²

(x⁴ - 4x² + 4x - 1)² = (2x - a)² (-2x³ + 2x - a)²

Раскроем квадраты:

x⁸ - 8x⁶ + 24x⁴ - 32x³ + 16x² - 2x³ + 4x² - 2x + 1 = (4x² - 4ax + a²) (4x⁶ - 4a²x³ + a⁴)

Приведем подобные слагаемые и сократим одинаковые множители:

x⁸ - 2x⁶ + 20x⁴ - 34x³ + 20x² - 2x + 1 = 16x⁸ - 16a²x⁵ + 4a⁴x² - 16a²x⁵ + 16a³x³ -4a⁴x² + a⁶x⁴ - a⁴x³ + a⁴x²

Упростим выражение:

0 = 16x⁸ - 2x⁶ - 34x³ + 20x² - 2x + 1 - 16a²x⁵ + 16a³x³ - a⁴x³ + a⁶x⁴ - 4a⁴x²

Если уравнение имеет только один корень на промежутке [-1; 1], то его график будет касаться оси абсцисс только в одной точке (-1, f(-1)) или (1, f(1)), где f(x) - функция заданного уравнения.

Рассмотрим точку -1:
Подставляем x = -1 в полученное уравнение и приравниваем его к нулю:

0 = 16(-1)⁸ - 2(-1)⁶ - 34(-1)³ + 20(-1)² - 2(-1) + 1 - 16a²(-1)⁵ + 16a³(-1)³ - a⁴(-1)³ + a⁶(-1)⁴ - 4a⁴(-1)²

0 = 16 - 2 - 34 + 20 + 2 + 1 + 16a² - 16a³ + a⁴ + a⁶ - 4a⁴

0 = 35 - 16a³ + 20a² - 3a⁴ + a⁶

Подставляем в разложение предыдущего выражения a = -1 и получаем:

0 = 35 + 16 + 20 - 3 + 1
0 = 69

Таким образом, a = -1 не является корнем уравнения при x = -1.

Рассмотрим точку 1:
Подставляем x = 1 в полученное уравнение и приравниваем его к нулю:

0 = 16(1)⁸ - 2(1)⁶ - 34(1)³ + 20(1)² - 2(1) + 1 - 16a²(1)⁵ + 16a³(1)³ - a⁴(1)³ + a⁶(1)⁴ - 4a⁴(1)²

0 = 16 - 2 - 34 + 20 - 2 + 1 - 16a² + 16a³ - a⁴ + a⁶ - 4a⁴

0 = -3 + 16a³ - 4a⁴ + a⁶

Подставляем в разложение предыдущего выражения a = 1 и получаем:

0 = -3 + 16 - 4 + 1
0 = 10

Таким образом, a = 1 не является корнем уравнения при x = 1.

Исходя из данных выкладок и результатов, ни одно значение а не позволяет уравнению иметь единственный корень на промежутке [-1; 1].