Введение в алгебру оражение Составьте число 1) произведение суммы чисел -28 и 17 и числа 1,2; 2) частное разности чисел 12 и 1,5 и числа -1,5: 3) частное числа -16 и произведения чисел -0,8 и -0,05:

и найдите его значение:

4) произведение суммы и разности чисел 1.2 и 0,8;

б) сумма произведения чисел 11 и -12 и частного чи сел 0,72 и -0.6:

6) разность квадратов чисел -7 и 8; 7) квадрат суммы чисел -5,4 и 3.8.

Найдите значение выражения:

2) а² - За, если а = 5; -6; 0,1; An, если м - 7, л=-4;

3) 3m

+

Линейное уравнение с одной переменной

Решите уравнение:

1) 2x = 18 - x;

2) 7x+3=30 - 2x

3) 7 - 2r = 3x - 18:

Решите уравнение:

1) 3(x - 2) = x+2;

2) 5-2(x-1)=4-x; 3) (7x + 1)-(9x + 3) = 5;

4) 3,4 + 2y = 7(y - 2,3); 5) 0,2(7-2y) -2,3-0,3(y-6);

Даны координаты вершин пирамиды:

A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).

1) уравнение плоскости АВС и ее нормальный вектор

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).

Их векторное произведение равно.

i           j         k |         i         j

0         6        12 |        0         6

-2        4        14 |       -2         4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).

Его же можно выразить, разделив на кратную величину 12:

(3; -2; 1).

Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору :  A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).

Найдём значение D:

D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.

Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.

2) отрезки, которые отрезает плоскость АВС от осей координат.

Для этого уравнение плоскости АВС представить в "отрезках".

Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.

3x - 2y + z = -6. Разделим обе части уравнения на -6:

(3/-6)x - (2/-6)y + (1/-6)z = 1.

Получаем: (-1/2)x + (1/3)y + (-1/6)z = 1.

Это и есть длины отрезков, отсекаемые плоскостью АВС на осях:

Ох: (-1/2), Оу: (1/3), Oz: ((-1/6).

3) уравнение плоскости pi, которое проходит через вершину D параллельно к грани ABC.

Общее уравнение заданной плоскости имеет вид:

Ax+By+Cz+D=0                                   (2)

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (2) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (2). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (2):

Ax0+By0+Cz0+D=0. (3)

Решим (3) относительно D:

D=−(Ax0+By0+Cz0) (4)

Координаты нормального вектора определены:

A =  3, B = −2, C =  1.

Подставляя координаты точки D и координаты нормального вектора в (4), получим:  

D=−(Ax0 + By0 + Cz0) = −(3*9 +  (−2)*6 +1*4) =  −19.

Подставляя значения A, B, C, D в (2), получим уравнение плоскости, проходящей через точку D(9, 6, 4) и параллельной плоскости ABC:

3 x  − 2  y +  z − 19 = 0.

а) Чтобы у данного графика было хотя бы одно пересечение с функцией у = х + 200, он не должен быть паралелен к этой функции, а то есть коэффициенты при х в каждой функции были разные.

Так как у второй функции коэффициент при х – 1, то у первой функции может быть любой коэффициент, кроме 1.

ответ: k ∈ (-∞;1)U(1;+∞)

б) Подставим в уравнение первой функции каждую точку:

1)

2)

Значит чтобы график пересекал данный отрезок, необходимо чтобы коэффициент при х лежал в передлах от -0.25 до -1.

ответ: k ∈ [-0.25;-1]