1) Тело при вращении треугольника вокруг катета - это конус.
Высота равна большому катету, то есть H = 7 см.
Радиус равен малому катету, то есть R = 4 см.
Длина образующей равна гипотенузе, то есть
L = √(4^2 + 7^2) = √(16 + 49) = √65 см
Площадь боковой поверхности
S(бок) = П*R*L = П*4*√65 = 4П√65 кв.см.
2) Площадь основания 4-угольной пирамиды S(осн) = 36 кв.см.
Основание пирамиды - это квадрат, его сторона a = √36 = 6 см.
Боковая сторона тоже b = 6 см.
Построим прямоугольный треугольник из боковой стороны (гипотенуза), высоты пирамиды и половины диагонали (катеты).
Половина диагонали d = 6√2/2 = 3√2
Высота H = √(b^2 - d^2) = √(6^2 - 9*2) = √(36 - 18) = √18 = 3√2
Объем пирамиды V = 1/3*S(осн)*H = 1/3*36*3√2 = 36√2 куб.см.
Вначале заметим, что первообразная скорости равна пройденному пути, откуда имеем следующее:
Для того, чтобы найти путь, пройденной точкой за четвертую секунду, найдем путь, который точка за четыре секунды и за три секунды, а затем из первого вычтем второе.
Считаем разность:
ответ: точка 
метра за четвертую секунду.
Для нахождения площади этой фигуры можно, во-первых, воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов:
В нашем случае (если приравнять 
и 
) 
.
(как решение уравнения 
)
(как решение уравнения 
)
Найдем сам интеграл:
Можно было пойти по-другому: изобразить все на координатной плоскости (смотрите вложенный файл) и по формуле площади прямоугольного треугольника 
найти площадь 
:
В обоих случаях получился одинаковый ответ!
ответ: площадь фигуры равна 
.
