Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами , что число является его корнем.

x³ - 9x - 12

Объяснение:

Пусть . Тогда

При обратной замене левая часть действительно обратится в 0, так как все преобразования были равносильны. Значит, таким многочленом может быть x³ - 9x - 12.

Добрый день!
Для решения данной задачи, мы должны найти такой многочлен с целыми коэффициентами, чтобы число было его корнем. Для этого потребуется использовать знания о свойствах корней многочлена.

Во-первых, если корень является рациональным числом, то он будет иметь вид a/b, где a и b - целые числа без общих делителей. Однако, число - иррациональное, значит, мы должны искать многочлен с иррациональным корнем.

Во-вторых, если число является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то его сопряженное число (т.е. число, полученное заменой каждой иррациональной цифры на ее отрицательное значение) также будет являться его корнем. Это связано с тем, что многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональные корни только в случае, когда дробь имеет целый знаменатель (и, следовательно, иррациональный корень должен быть в двух взаимно противоположных значениях).

Теперь мы можем составить несколько шагов по поиску такого многочлена:

Шаг 1: Найдем корень .
Для этого предлагаю выполнить некоторые преобразования:





Шаг 2: Теперь, когда у нас есть корень , можно составить нужный нам многочлен.
Возьмем в качестве корня число . Для удобства дальнейших вычислений обозначим это число за x.

Теперь составим многочлен используя формулу разложения куба:

()^3 = 27 + 3*x^2 + 9*x

Раскроем скобку и упростим:

27 + 3*x^2 + 9*x = 27 + 9*x + 3*x^2

Полученный многочлен 3*x^2 + 9*x + 27 удовлетворяет условию задачи, так как его корнем является число .

Таким образом, искомым многочленом с целыми коэффициентами будет 3*x^2 + 9*x + 27.