на решение задачи.
График функции и производная.

1)Т.к. (пи/2<альфа<пи) ---> 2 четверть в окружности значит cos будет с минусом. Теперь находим cos по тождеству:
cos^2 альфа+sin^2 альфа=1
cos^2 альфа=(1/1)-(64/289), т.е. синус возвела в квадрат и перенесла знак меняется, теперь приводим к общему знаменателю, т.е. 289 домнажаем дроби и получаем: (225/289), это получается cos с минусом и выводим из квадрата и получаем: cos альфа = (-15/17);
2)-а:
tg альфа = (sin альфа/cos альфа)
ctg альфа = (cos альфа/sin альфа)
подставляешь и получаешь:
1-sin^2 альфа, из тождества (cos^2 альфа+sin^2 альфа=1) выражаем  и получаем: cos^2 альфа=1-sin^2 альфа;
3)-а:
(1+tg^2 альфа это отношение : 1/cos^2 альфа, значит:
1/cos^2 альфа*cos^4 альфа/1 + sin^2 альфа (сокращаем и получаем):
 cos^2 альфа+sin^2 альфа=1, т.к. это основное тождество.

Решение:
Докажем, что последовательность an=4,2n+3  является арифметической прогрессией.
Найдём а1,а2,а3:
а1=4,2*1+3=7,2
a2=4,2*2+3=11,4
a3=4,2*3+3=15,6
d=a2-a1=11,4-7,2=4,2
d=a3-a2=15,6-11,4=4,2
Как видим, что каждый член начиная со второго получается с добавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии)-что доказывает, что данная последовательность- арифметическая прогрессия.
Sn=(a1+an)*n/2
в данном случае а10 за а1
а19 за а10
an=a1+d*(n-1)
a10=4,2*10+3=42+3=45
a19=4,2*19=79,8+3=82,8
n=10
Отсюда:
S(10-19)=(45+82,8)*10/2=127,8*5=639

ответ: S(10-19)=639