14.15. Мода и медиана пять мод?
Задача
ответьте на вопросы, подкрепив их соответствующими примерами.
а) Может ли набор из пяти чисел иметь ровно одну, две, три, четыре,
b) Может ли набор из пяти чисел иметь ровно одну, две, три, четыре,
пять медиан?
с) Верно ли утверждение: медиана всегда больше моды?
Решение
а) Одна, две и пять мод возможны. Соответствующие примеры: {1; 1; 4;
1; – 6}, {1; 1; 4; 1; 4}, {1; 11; 4; -1; - 6}. Три и четыре моды невозможны. Так,
чтобы были три моды, три элемента должны встретиться хотя бы по два
раза, а для этого нужно не менее 6 элементов.
b) Медиана у каждой совокупности чисел только одна.
с) Медиана может быть больше моды, меньше моды или равна моде.
Соответствующие примеры:
189​

1. х²=169

х₁ = -13, х₂=13

х²=7

х₁= -√7, х₂=√7

х²= -10

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

5х²+3х=0

х(5х+3)=0

х₁=0; 5х+3=0

5х= -3

х₂= -0,6

-6х²+7=1

-6х²= 1-7

-6х²= -6 | :(-6) разделим на -6

х²=1

х₁= -1, х₂= 1

-4х²-8=0

-4х²=8 | :(-4) разделим на -4

х²= -2

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

2. х²-12х+36=0

используя формулу квадрата разности, получаем:

(х-6)²=0

х-6=0

х=6

х²+7х+6=0

D= 49-4×6=49-24=25

x₁= -7+5/2= -2/2= -1

x₂= -7-5/2= -12/2= -6

значит, x₁= -1, x₂= -6

-8х²+6х-10=0 | :(-2) разделим на -2

4х²-3х+5=0

D= 9-4×5=9-20= -11

если D<0, => корней нет

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству)

3. -5х²+19х-14=0 |×(-1) домножим на (-1)

5х²-19х+14=0

D= 361-4×5×14=361-280=81

х₁=19+9/2×5=28/10=2,8

х₂=19-9/2×5=10/10=1

значит, x₁=2,8; x₂=1

сумма корней: 2,8+1=3,8

произведение корней: 2,8×1=2,8

4. х²+6х+5= (х+5)(х+1)

8х²+40х+50= 2(2х+5)²

-4х²-4х+8= -4(х+2)(х-1)

5. (-7х+4)(-7х-5)+5х= -20

49х²+35х-28х-20+5х= -20

49х²+12х=0

х(49х+12)=0

х₁=0; 49х+12=0

49х= -12

х₂= -12/49

(-8х+2)(-8х-2)+9х= -4

используя формулу разности квадратов:

64х²-4+9х= -4

64х²+9х=0

х(64х+9)=0

х₁=0; 64х+9=0

64х= -9

х₂= -9/64

6. (-х+4)/(-х-8)=(х+5)/(-х-10)

это пропорция, используем метод "крест-накрест":

(-х+4)(-х-10)=(х+5)(-х-8)

(-х+4)(-х-10)-(х+5)(-х-8)=0

х²+10х-4х-40-(-х²-8х-5х-40)=0

х²+6х-40+х²+13х+40=0

2х²+19х=0

х(2х+19)=0

х₁=0; 2х+19=0

2х= -19

х₂= -19/2

х₂= -9,5

7. -

8. пусть первое число - х, второе число - у

по условию сумма равно 50, => х+у=50

произведение 400, => ху=400

составим систему:

1. х+у=50, 2. х=50-у (подставим вместо х)

ху=400; (50-у)у=400, решаем:

50у-у²=400

у²-50у+400=0

D=2500-4×400=2500-1600=900

y₁=50+30/2=80/2=40

y₂=50-30/2=20/2=10

подставим в первое уравнение второй системы:

х₁=50-у₁=50-40=10

х₂=50-у₂=50-10=40

ответ: это числа 40 и 10

9. -

1. х²=169

х₁ = -13, х₂=13

х²=7

х₁= -√7, х₂=√7

х²= -10

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

5х²+3х=0

х(5х+3)=0

х₁=0; 5х+3=0

5х= -3

х₂= -0,6

-6х²+7=1

-6х²= 1-7

-6х²= -6 | :(-6) разделим на -6

х²=1

х₁= -1, х₂= 1

-4х²-8=0

-4х²=8 | :(-4) разделим на -4

х²= -2

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

2. х²-12х+36=0

используя формулу квадрата разности, получаем:

(х-6)²=0

х-6=0

х=6

х²+7х+6=0

D= 49-4×6=49-24=25

x₁= -7+5/2= -2/2= -1

x₂= -7-5/2= -12/2= -6

значит, x₁= -1, x₂= -6

-8х²+6х-10=0 | :(-2) разделим на -2

4х²-3х+5=0

D= 9-4×5=9-20= -11

если D<0, => корней нет

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству)

3. -5х²+19х-14=0 |×(-1) домножим на (-1)

5х²-19х+14=0

D= 361-4×5×14=361-280=81

х₁=19+9/2×5=28/10=2,8

х₂=19-9/2×5=10/10=1

значит, x₁=2,8; x₂=1

сумма корней: 2,8+1=3,8

произведение корней: 2,8×1=2,8

4. х²+6х+5= (х+5)(х+1)

8х²+40х+50= 2(2х+5)²

-4х²-4х+8= -4(х+2)(х-1)

5. (-7х+4)(-7х-5)+5х= -20

49х²+35х-28х-20+5х= -20

49х²+12х=0

х(49х+12)=0

х₁=0; 49х+12=0

49х= -12

х₂= -12/49

(-8х+2)(-8х-2)+9х= -4

используя формулу разности квадратов:

64х²-4+9х= -4

64х²+9х=0

х(64х+9)=0

х₁=0; 64х+9=0

64х= -9

х₂= -9/64

6. (-х+4)/(-х-8)=(х+5)/(-х-10)

это пропорция, используем метод "крест-накрест":

(-х+4)(-х-10)=(х+5)(-х-8)

(-х+4)(-х-10)-(х+5)(-х-8)=0

х²+10х-4х-40-(-х²-8х-5х-40)=0

х²+6х-40+х²+13х+40=0

2х²+19х=0

х(2х+19)=0

х₁=0; 2х+19=0

2х= -19

х₂= -19/2

х₂= -9,5

7. -

8. пусть первое число - х, второе число - у

по условию сумма равно 50, => х+у=50

произведение 400, => ху=400

составим систему:

1. х+у=50, 2. х=50-у (подставим вместо х)

ху=400; (50-у)у=400, решаем:

50у-у²=400

у²-50у+400=0

D=2500-4×400=2500-1600=900

y₁=50+30/2=80/2=40

y₂=50-30/2=20/2=10

подставим в первое уравнение второй системы:

х₁=50-у₁=50-40=10

х₂=50-у₂=50-10=40

ответ: это числа 40 и 10

9. -