знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії, якщо її шостий член дорівнює 200, а знаменник 10

АЕ = ЕС ⇒ ∠ЕАС = ∠ЕСА, обозначим их α.

Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда
ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.

В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:
cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)
cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)

В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:
cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)
cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)

(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)
a² + 3x² = 2a²
a² = 3x²
a = x√3

cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°

∠ВСА = 30°
∠ВАС = 60°  ⇒  ∠АВС = 90°

(100000+x) - первоначальное число

(10х+1) - число, которое получено из первого путём перемещения первой слева единицы на последнее место.

По условию полученное число в 3 раза больше первоначального, 

Уравнение

10х+1 = (100000+х) *3

10х+1 = 300000 + 3х 

10х-3х = 300000 - 1

7х=299999

х=299999 : 7

х=42857

142857 - первоначальное число

428571 - число, которое получено из первого путём перемещения первой слева единицы на последнее место.

Проверка

428571 : 3 = 142857 

142857 = 142857 - верное равенство.

ответ: 142857 - первоначальное число.