Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 168 ,а сума наступних трьох дорівнює 21. Знайдіть суму перших п'яти членів прогресії​​

Решение
1. 
y - x = П/2
второе:cosx+siny=1 

y = π/2 + x
cosx + cos(π/2 + x) = 1

y = π/2 + x
cosx + cos(π/2 + x) = 1

y = π/2 + x
cosx - sinx = 1

2 sin x – cos x =1
2sin x/2 * cos x/2 – cos² x/2 +sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2
2sin x/2 * cos x/2 – 2cos² x/2 = 0
2cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0
cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0
 cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0
 cos x/2 = 0;
x/2 = π/2 + πk;
x = π + 2πk; k Є Z;
sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени.
 Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2≠ 0, так как,
если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1).
Получим tg x/2 – 1 = 0;
tg x/2 = 1;
x/2 = π/4 + πn; 
x = π/2 + 2πn; n Є Z.
1)  x = π + 2πk; k Є Z;
y = π/2 + π + 2πk; k Є Z;
y = π + 2πk; k Є Z;
(π + 2πk; k Є Z; π + 2πk; k Є Z;)

2)  x = π/2 + 2πn; n Є Z. 
y = π/2 + π/2 + 2πn; n Є Z. 
y = π + 2πn; n Є Z. 
(π + 2πk; k Є Z; π + 2πk; k Є Z)

ответ: (π + 2πk; k Є Z; π + 2πk; k Є Z) ; 
(π + 2πk; k Є Z; π + 2πk; k Є Z)

2.
sinx-cosy=0
 sinx+cosy = √3
складываем
2sinx = √3
sinx = √3/2
x = (-1)^n*arcsin(√3/2) + πk, k ∈ Z
x = (-1)^n*arcsin(π/3) + πk, k ∈ Z

 sinx-cosy=0 
 sinx+cosy = √3 (умножим на - 1)
   sinx - cosy = 0 
 - sinx - cosy = √3
складываем
- 2сosy = √3
cosy = - √3/2
y = (+ -)*arccos(- √3/2) + 2πn, n ∈ Z
y = (+ -)*arccos(5π/6) + 2πn, n ∈ Z
(x = (-1)^n*arcsin(π/3) + πk, k ∈ Z  ; y = (+ -)*arccos(5π/6) + 2πn, n ∈ Z)

Для начала, можно посмотреть несколько последовательных степеней двойки:
1       2
2      4
3      8
4     16
5    32
6    64
7   128
8  256
9   512
Как видим, последняя цифра меняется так:  2, 4, 8, 6.
А далее эта последовательность повторяется. То есть имеем повторяющуюся последовательность из четырёх цифр.
Чтобы понять, на какую из этих цифр заканчивается 2^2015, мы разделим 2015 на 4.    Получим 503 и остаток 3.

Чтобы далее было понятно, рассмотрим варианты:
1) если бы разделилось нацело (как, например, четвёртая степень), то число бы оканчивалось на шесть (смотри выше посчитанные степени)
2) если был бы остаток 1 (как, например, для пятой степени), то число бы оканчивалось на 2
3) если был бы остаток 2 (как, например, для шестой степени), то число бы оканчивалось на 4
4) а если остаток 3 (как, например, для седьмой степени), то число будет оканчиваться на 8

Соответственно, последняя цифра числа 2^2015  будет восемь.