На 20 карточках написаны числа 1, 2, 3, . . . , 20, каждое по одному разу. Назовем набор из нескольких карточек квадратным, если произ- ведение чисел на них является точным квадратом. Сколько различных квадратных наборов карточек можно выбрать?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разложить каждое число от 1 до 20 на простые множители и посмотреть, какие простые числа у нас встречаются и какое у них количество.

1) Разложим каждое число от 1 до 20 на простые множители:
1 = 1 (1 не является простым числом)
2 = 2^1
3 = 3^1
4 = 2^2
5 = 5^1
6 = 2^1 * 3^1
7 = 7^1
8 = 2^3
9 = 3^2
10 = 2^1 * 5^1
11 = 11^1
12 = 2^2 * 3^1
13 = 13^1
14 = 2^1 * 7^1
15 = 3^1 * 5^1
16 = 2^4
17 = 17^1
18 = 2^1 * 3^2
19 = 19^1
20 = 2^2 * 5^1

2) Теперь мы видим, какие простые числа содержатся в разложении каждого числа от 1 до 20 и считаем их количество:

2: 5 раз (в разложении чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
3: 3 раза (в разложении чисел 3, 6, 9, 12, 15, 18)
5: 2 раза (в разложении чисел 5, 10, 15, 20)
7: 1 раз (в разложении чисел 7, 14)
11: 1 раз (в разложении чисел 11)
13: 1 раз (в разложении чисел 13)
17: 1 раз (в разложении чисел 17)
19: 1 раз (в разложении чисел 19)

3) Теперь посчитаем все возможные комбинации этих простых чисел:
- Можем взять 0, 2, 4 или 6 двоек.
- Можем взять 0, 1 или 2 тройки.
- Можем взять 0 или 1 пятёрку.
- Можем взять 0 семёрку.
- Можем взять 0 одиннадцать.
- Можем взять 0 тринадцать.
- Можем взять 0 семнадцать.
- Можем взять 0 девятнадцать.

4) Найдём общее число комбинаций, учитывая все возможности выбора простых чисел:

Для двоек: 4 возможных комбинации (берём 0, 2, 4 или 6 двоек)
Для троек: 3 возможных комбинации (берём 0, 1 или 2 тройки)
Для пятёрок: 2 возможных комбинации (берём 0 или 1 пятёрку)
Для семерок: 2 возможных комбинации (берём 0 или 1 семерку)
Для одиннадцати, тринадцати, семнадцати и девятнадцати: по 2 возможных комбинации каждое (берём 0 или 1 в каждом случае)

Теперь перемножим все эти варианты: 4 * 3 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 768

5) Таким образом, мы можем выбрать 768 различных квадратных наборов карточек из 20 предложенных.

Ответ: 768 различных квадратных наборов карточек можно выбрать.