Упростите выражение tg2x × (1-tg2x)​

Для упрощения данного выражения нам может пригодиться знание некоторых свойств тригонометрических функций.

1. Нам известно, что tg(x) представляет из себя отношение синуса и косинуса этого угла. То есть:
tg(x) = sin(x)/cos(x)

2. Известно также, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1, что может быть представлено также в виде:
1 = sin^2(x)/cos^2(x) + cos^2(x)/cos^2(x),
что в свою очередь можно записать так:
1 = (sin^2(x) + cos^2(x))/cos^2(x),
и, учитывая свойство из пункта 1, мы получим:
1 = (tg^2(x) + 1)/cos^2(x),
отсюда следует:
cos^2(x) = tg^2(x) + 1

3. Воспользуемся теперь свойством (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:
tg^2(2x) - 1 = (tg(2x) - 1)(tg(2x) + 1)

Теперь мы готовы приступить к упрощению исходного выражения tg^2(2x) × (1 - tg^2(2x)).

1. Заменим tg^2(2x) на (1 - cos^2(2x))/cos^2(2x) по свойству из пункта 2:
tg^2(2x) × (1 - tg^2(2x)) = ((1 - cos^2(2x))/cos^2(2x)) × (1 - (1 - cos^2(2x))/cos^2(2x))

2. Упростим внутренние скобки:
= ((1 - cos^2(2x))/cos^2(2x)) × ((cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x)))/cos^2(2x))

3. Выполним вычитание в числителе:
= ((1 - cos^2(2x))/cos^2(2x)) × ((cos^2(2x) - 1 + cos^2(2x))/cos^2(2x))
= ((1 - cos^2(2x))/cos^2(2x)) × ((2cos^2(2x))/cos^2(2x))

4. Упростим дробь на (cos^2(2x))/cos^2(2x):
= (1 - cos^2(2x)) × 2cos^2(2x) / cos^2(2x)
= 2cos^2(2x) - 2cos^4(2x)

Таким образом, выражение tg^2(2x) × (1 - tg^2(2x)) равно 2cos^2(2x) - 2cos^4(2x).

Итак, упрощенное выражение равно 2cos^2(2x) - 2cos^4(2x).