2. Первые учебники, стихи и рассказы
3. Учительская школа.​

A)
Мы имеем арифметическую прогрессию, с первым членом 10 и разностью 1.
Формула общего члена:

Так как последнее двухзначное число, равно 99. То наша цель найти номер этого члена:


То есть, всего существует 90 двухзначных чисел.
Отсюда сумма:


2)
Представим, что k это двухзначное число. Тогда 3k это двухзначное число, кратное 3.
Отсюда имеем арифметическую прогрессию, с первым членом 12 (это первое двухзначное число, кратное 3), и с разностью 3.

Формула общего члена:

Найдем последний член прогрессии которое является двухзначным числом:



То есть, последний член, имеет номер 30:

Всего таких чисел 30.
Отсюда сумма:

Всегда можно записать q₁=l/k, q₂=m/k. Пусть d=НОД(l,m). Тогда положим q=d/k и обозначим A={aq₁+bq₂|a,b∈Z} и B={nq|n∈Z}.
1) Для любых а,b верно aq₁+bq₂=(al+bm)/k=nd/k=nq при некотором n, т.к. d делит l и m. Т.е. A⊆B.
2)Теперь докажем, что B⊆A. Для этого воспользуемся тем, что для любых целых l и m существуют целые u и v, такие, что ul+vm=НОД(l,m) (В физ-мат школах этот факт должны знать. Если нет, могу доказать, он короткий). Итак, для любого n∈Z при некоторых u,v верно
nq=nd/k=n(ul+vm)/k=nu·(l/k)+nv·(m/k)=aq₁+bq₂, где a=nu, b=nv.
Т.е. это значит, что B⊆A. Отсюда, A=B.