Решите неравенство методом интервалов (x+1)(x-2)(x+5)>0​

решение на фотографии

Для решения данного неравенства методом интервалов, нам необходимо определить интервалы значений переменной x, при которых неравенство выполнено.

Для начала, найдем значения x, при которых каждый из множителей равен нулю:
1) (x+1) = 0
x = -1
2) (x-2) = 0
x = 2
3) (x+5) = 0
x = -5

Теперь, построим интервалы на числовой оси, используя найденные значения:
-∞ -5 -1 2 +∞

Из этого графика видно, что на каждом интервале значения переменной x неравенство может быть либо положительным, либо отрицательным.

Рассмотрим каждый из интервалов отдельно:

1) Если x < -5, то все три скобки в неравенстве будут отрицательными числами, т.к. x+1 < 0, x-2 < 0 и x+5 < 0. Умножение отрицательных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, не выполняется.

2) Если -5 < x < -1, то первая и третья скобки в неравенстве будут отрицательными числами (т.к. x+1 < 0 и x+5 < 0), а вторая скобка будет положительным числом (т.к. x-2 > 0). Умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, выполняется. Итак, -5 < x < -1 - это один из интервалов, при котором неравенство выполнено.

3) Если -1 < x < 2, то первая скобка будет положительным числом (т.к. x+1 > 0), вторая скобка будет отрицательным числом (т.к. x-2 < 0), а третья скобка будет положительным числом (т.к. x+5 > 0). Умножение двух положительных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в этом интервале, снова выполняется. Итак, -1 < x < 2 - второй интервал, при котором неравенство выполнено.

4) Если x > 2, то все три скобки в неравенстве будут положительными числами, т.к. x+1 > 0, x-2 > 0 и x+5 > 0. Умножение положительных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, снова не выполняется.

Итак, неравенство (x+1)(x-2)(x+5) > 0 выполняется при -5 < x < -1 и -1 < x < 2. Ответом на задачу будет объединение этих двух интервалов:

-5 < x < -1 или -1 < x < 2.